Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31426 / 19402
↖ ↑ ↗
← N 58.967004°
W  7.371826°		 ← 314.91 m → N 58.967004°
W  7.366333°		 →
↑
314.92 m
↓
↑
314.92 m
↓
N 58.964172°
W  7.371826°		 ← 314.94 m →
99 176 m²		 N 58.964172°
W  7.366333°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31426 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19402 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479530334472656 y=0.296058654785156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479530334472656 × 216)
    floor (0.479530334472656 × 65536)
    floor (31426.5)     		tx = 31426
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.296058654785156 × 216)
    floor (0.296058654785156 × 65536)
    floor (19402.5)     		ty = 19402
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31426 / 19402 ti = "16/31426/19402"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31426/19402.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31426 ÷ 216
    31426 ÷ 65536     		x = 0.479522705078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19402 ÷ 216
    19402 ÷ 65536     		y = 0.296051025390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.479522705078125 × 2 - 1) × π
    -0.04095458984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.12866264
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.296051025390625 × 2 - 1) × π
    0.40789794921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.28144920064334
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12866264} λ = -0.12866264}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28144920064334))-π/2
    2×atan(3.60185575679846)-π/2
    2×1.29998234673712-π/2
    2.59996469347424-1.57079632675     		φ = 1.02916837
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12866264} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.371826°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02916837 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.967004°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31426 KachelY 19402 -0.12866264 1.02916837 -7.371826 58.967004
    Oben rechts KachelX + 1 31427 KachelY 19402 -0.12856676 1.02916837 -7.366333 58.967004
    Unten links KachelX 31426 KachelY + 1 19403 -0.12866264 1.02911894 -7.371826 58.964172
    Unten rechts KachelX + 1 31427 KachelY + 1 19403 -0.12856676 1.02911894 -7.366333 58.964172
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02916837-1.02911894) × R
    4.9430000000017e-05 × 6371000     		dl = 314.918530000108m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02916837-1.02911894) × R
    4.9430000000017e-05 × 6371000     		dr = 314.918530000108m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12866264--0.12856676) × cos(1.02916837) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.51553162241963 × 6371000     		do = 314.913254541808m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12866264--0.12856676) × cos(1.02911894) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.515573976901291 × 6371000     		du = 314.939126839615m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02916837)-sin(1.02911894))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.51553162241963-0.515573976901291)×R²
    abs(-0.12856676--0.12866264)×4.2354481660567e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.2354481660567e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.2354481660567e-05×40589641000000     		ar = 99176.0930510722m²