Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31426 / 13632
↖ ↑ ↗
← N 71.856229°
W  7.371826°		 ← 190.22 m → N 71.856229°
W  7.366333°		 →
↑
190.17 m
↓
↑
190.17 m
↓
N 71.854518°
W  7.371826°		 ← 190.24 m →
36 177 m²		 N 71.854518°
W  7.366333°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31426 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13632 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479530334472656 y=0.208015441894531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479530334472656 × 216)
    floor (0.479530334472656 × 65536)
    floor (31426.5)     		tx = 31426
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.208015441894531 × 216)
    floor (0.208015441894531 × 65536)
    floor (13632.5)     		ty = 13632
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31426 / 13632 ti = "16/31426/13632"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31426/13632.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31426 ÷ 216
    31426 ÷ 65536     		x = 0.479522705078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13632 ÷ 216
    13632 ÷ 65536     		y = 0.2080078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.479522705078125 × 2 - 1) × π
    -0.04095458984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.12866264
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2080078125 × 2 - 1) × π
    0.583984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.83464102225879
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12866264} λ = -0.12866264}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.83464102225879))-π/2
    2×atan(6.26288550536182)-π/2
    2×1.41246205441679-π/2
    2.82492410883359-1.57079632675     		φ = 1.25412778
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12866264} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.371826°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25412778 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.856229°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31426 KachelY 13632 -0.12866264 1.25412778 -7.371826 71.856229
    Oben rechts KachelX + 1 31427 KachelY 13632 -0.12856676 1.25412778 -7.366333 71.856229
    Unten links KachelX 31426 KachelY + 1 13633 -0.12866264 1.25409793 -7.371826 71.854518
    Unten rechts KachelX + 1 31427 KachelY + 1 13633 -0.12856676 1.25409793 -7.366333 71.854518
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25412778-1.25409793) × R
    2.98499999999979e-05 × 6371000     		dl = 190.174349999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25412778-1.25409793) × R
    2.98499999999979e-05 × 6371000     		dr = 190.174349999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12866264--0.12856676) × cos(1.25412778) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.311402487470188 × 6371000     		do = 190.220670346831m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12866264--0.12856676) × cos(1.25409793) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.311430853133104 × 6371000     		du = 190.237997554005m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25412778)-sin(1.25409793))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.311402487470188-0.311430853133104)×R²
    abs(-0.12856676--0.12866264)×2.83656629158635e-05×R²
    9.58799999999926e-05×2.83656629158635e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×2.83656629158635e-05×40589641000000     		ar = 36176.7399377409m²