Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31425 / 39476
↖ ↑ ↗
← S 34.542763°
W  7.377319°		 ← 503.11 m → S 34.542763°
W  7.371826°		 →
↑
503.12 m
↓
↑
503.12 m
↓
S 34.547287°
W  7.377319°		 ← 503.08 m →
253 116 m²		 S 34.547287°
W  7.371826°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31425 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39476 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479515075683594 y=0.602363586425781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479515075683594 × 216)
    floor (0.479515075683594 × 65536)
    floor (31425.5)     		tx = 31425
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.602363586425781 × 216)
    floor (0.602363586425781 × 65536)
    floor (39476.5)     		ty = 39476
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31425 / 39476 ti = "16/31425/39476"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31425/39476.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31425 ÷ 216
    31425 ÷ 65536     		x = 0.479507446289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39476 ÷ 216
    39476 ÷ 65536     		y = 0.60235595703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.479507446289062 × 2 - 1) × π
    -0.040985107421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.12875851
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.60235595703125 × 2 - 1) × π
    -0.2047119140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.643121445302673
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12875851} λ = -0.12875851}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.643121445302673))-π/2
    2×atan(0.525649075728143)-π/2
    2×0.483955695209367-π/2
    0.967911390418733-1.57079632675     		φ = -0.60288494
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12875851} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.377319°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.60288494 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.542763°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31425 KachelY 39476 -0.12875851 -0.60288494 -7.377319 -34.542763
    Oben rechts KachelX + 1 31426 KachelY 39476 -0.12866264 -0.60288494 -7.371826 -34.542763
    Unten links KachelX 31425 KachelY + 1 39477 -0.12875851 -0.60296391 -7.377319 -34.547287
    Unten rechts KachelX + 1 31426 KachelY + 1 39477 -0.12866264 -0.60296391 -7.371826 -34.547287
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.60288494--0.60296391) × R
    7.89700000000115e-05 × 6371000     		dl = 503.117870000073m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.60288494--0.60296391) × R
    7.89700000000115e-05 × 6371000     		dr = 503.117870000073m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12875851--0.12866264) × cos(-0.60288494) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.823703222930321 × 6371000     		do = 503.107854675413m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12875851--0.12866264) × cos(-0.60296391) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.823658442700625 × 6371000     		du = 503.080503458776m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.60288494)-sin(-0.60296391))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.823703222930321-0.823658442700625)×R²
    abs(-0.12866264--0.12875851)×4.47802296963395e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.47802296963395e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.47802296963395e-05×40589641000000     		ar = 253115.671913224m²