Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31424 / 14528
↖ ↑ ↗
← N 70.259452°
W  7.382813°		 ← 206.32 m → N 70.259452°
W  7.377319°		 →
↑
206.36 m
↓
↑
206.36 m
↓
N 70.257596°
W  7.382813°		 ← 206.34 m →
42 578 m²		 N 70.257596°
W  7.377319°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31424 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14528 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479499816894531 y=0.221687316894531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479499816894531 × 216)
    floor (0.479499816894531 × 65536)
    floor (31424.5)     		tx = 31424
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.221687316894531 × 216)
    floor (0.221687316894531 × 65536)
    floor (14528.5)     		ty = 14528
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31424 / 14528 ti = "16/31424/14528"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31424/14528.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31424 ÷ 216
    31424 ÷ 65536     		x = 0.4794921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14528 ÷ 216
    14528 ÷ 65536     		y = 0.2216796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4794921875 × 2 - 1) × π
    -0.041015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.12885439
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2216796875 × 2 - 1) × π
    0.556640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.74873809813965
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12885439} λ = -0.12885439}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.74873809813965))-π/2
    2×atan(5.74734551206066)-π/2
    2×1.39852754741514-π/2
    2.79705509483028-1.57079632675     		φ = 1.22625877
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12885439} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.382813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22625877 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.259452°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31424 KachelY 14528 -0.12885439 1.22625877 -7.382813 70.259452
    Oben rechts KachelX + 1 31425 KachelY 14528 -0.12875851 1.22625877 -7.377319 70.259452
    Unten links KachelX 31424 KachelY + 1 14529 -0.12885439 1.22622638 -7.382813 70.257596
    Unten rechts KachelX + 1 31425 KachelY + 1 14529 -0.12875851 1.22622638 -7.377319 70.257596
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22625877-1.22622638) × R
    3.23900000001043e-05 × 6371000     		dl = 206.356690000664m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22625877-1.22622638) × R
    3.23900000001043e-05 × 6371000     		dr = 206.356690000664m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12885439--0.12875851) × cos(1.22625877) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.337761447152447 × 6371000     		do = 206.322079880058m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12885439--0.12875851) × cos(1.22622638) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.337791933471609 × 6371000     		du = 206.340702493238m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22625877)-sin(1.22622638))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.337761447152447-0.337791933471609)×R²
    abs(-0.12875851--0.12885439)×3.04863191613602e-05×R²
    9.58800000000204e-05×3.04863191613602e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×3.04863191613602e-05×40589641000000     		ar = 42577.8629323976m²