Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 31423 / 39613
↖ ↑ ↗
← S 35.160337°
W  7.388306°		 ← 499.35 m → S 35.160337°
W  7.382813°		 →
↑
499.36 m
↓
↑
499.36 m
↓
S 35.164827°
W  7.388306°		 ← 499.32 m →
249 346 m²		 S 35.164827°
W  7.382813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31423 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39613 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479484558105469 y=0.604454040527344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479484558105469 × 216)
    floor (0.479484558105469 × 65536)
    floor (31423.5)     		tx = 31423
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.604454040527344 × 216)
    floor (0.604454040527344 × 65536)
    floor (39613.5)     		ty = 39613
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31423 / 39613 ti = "16/31423/39613"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31423/39613.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31423 ÷ 216
    31423 ÷ 65536     		x = 0.479476928710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39613 ÷ 216
    39613 ÷ 65536     		y = 0.604446411132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.479476928710938 × 2 - 1) × π
    -0.041046142578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.12895026
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.604446411132812 × 2 - 1) × π
    -0.208892822265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.656256155798569
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12895026} λ = -0.12895026}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.656256155798569))-π/2
    2×atan(0.518789972077492)-π/2
    2×0.478566342397233-π/2
    0.957132684794467-1.57079632675     		φ = -0.61366364
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12895026} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.388306°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.61366364 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -35.160337°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31423 KachelY 39613 -0.12895026 -0.61366364 -7.388306 -35.160337
    Oben rechts KachelX + 1 31424 KachelY 39613 -0.12885439 -0.61366364 -7.382813 -35.160337
    Unten links KachelX 31423 KachelY + 1 39614 -0.12895026 -0.61374202 -7.388306 -35.164827
    Unten rechts KachelX + 1 31424 KachelY + 1 39614 -0.12885439 -0.61374202 -7.382813 -35.164827
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.61366364--0.61374202) × R
    7.83800000000445e-05 × 6371000     		dl = 499.358980000284m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.61366364--0.61374202) × R
    7.83800000000445e-05 × 6371000     		dr = 499.358980000284m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12895026--0.12885439) × cos(-0.61366364) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.817543741641565 × 6371000     		do = 499.345718834697m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12895026--0.12885439) × cos(-0.61374202) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.817498602713764 × 6371000     		du = 499.318148529645m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.61366364)-sin(-0.61374202))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.817543741641565-0.817498602713764)×R²
    abs(-0.12885439--0.12895026)×4.51389278013359e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.51389278013359e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.51389278013359e-05×40589641000000     		ar = 249345.885213009m²