Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31423 / 38080
↖ ↑ ↗
← S 27.994402°
W  7.388306°		 ← 539.32 m → S 27.994402°
W  7.382813°		 →
↑
539.31 m
↓
↑
539.31 m
↓
S 27.999252°
W  7.388306°		 ← 539.30 m →
290 852 m²		 S 27.999252°
W  7.382813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31423 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38080 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479484558105469 y=0.581062316894531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479484558105469 × 216)
    floor (0.479484558105469 × 65536)
    floor (31423.5)     		tx = 31423
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.581062316894531 × 216)
    floor (0.581062316894531 × 65536)
    floor (38080.5)     		ty = 38080
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31423 / 38080 ti = "16/31423/38080"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31423/38080.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31423 ÷ 216
    31423 ÷ 65536     		x = 0.479476928710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38080 ÷ 216
    38080 ÷ 65536     		y = 0.5810546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.479476928710938 × 2 - 1) × π
    -0.041046142578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.12895026
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5810546875 × 2 - 1) × π
    -0.162109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.509281621563477
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12895026} λ = -0.12895026}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.509281621563477))-π/2
    2×atan(0.600927116872572)-π/2
    2×0.541100925030024-π/2
    1.08220185006005-1.57079632675     		φ = -0.48859448
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12895026} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.388306°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48859448 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.994402°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31423 KachelY 38080 -0.12895026 -0.48859448 -7.388306 -27.994402
    Oben rechts KachelX + 1 31424 KachelY 38080 -0.12885439 -0.48859448 -7.382813 -27.994402
    Unten links KachelX 31423 KachelY + 1 38081 -0.12895026 -0.48867913 -7.388306 -27.999252
    Unten rechts KachelX + 1 31424 KachelY + 1 38081 -0.12885439 -0.48867913 -7.382813 -27.999252
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48859448--0.48867913) × R
    8.46500000000194e-05 × 6371000     		dl = 539.305150000124m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48859448--0.48867913) × R
    8.46500000000194e-05 × 6371000     		dr = 539.305150000124m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12895026--0.12885439) × cos(-0.48859448) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.882993460972506 × 6371000     		do = 539.321606951967m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12895026--0.12885439) × cos(-0.48867913) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.88295372434439 × 6371000     		du = 539.297336305493m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48859448)-sin(-0.48867913))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.882993460972506-0.88295372434439)×R²
    abs(-0.12885439--0.12895026)×3.97366281165157e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.97366281165157e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.97366281165157e-05×40589641000000     		ar = 290852.375666971m²