Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31422 / 15169
↖ ↑ ↗
← N 69.035177°
W  7.393799°		 ← 218.54 m → N 69.035177°
W  7.388306°		 →
↑
218.59 m
↓
↑
218.59 m
↓
N 69.033211°
W  7.393799°		 ← 218.56 m →
47 772 m²		 N 69.033211°
W  7.388306°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31422 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15169 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479469299316406 y=0.231468200683594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479469299316406 × 216)
    floor (0.479469299316406 × 65536)
    floor (31422.5)     		tx = 31422
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.231468200683594 × 216)
    floor (0.231468200683594 × 65536)
    floor (15169.5)     		ty = 15169
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31422 / 15169 ti = "16/31422/15169"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31422/15169.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31422 ÷ 216
    31422 ÷ 65536     		x = 0.479461669921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15169 ÷ 216
    15169 ÷ 65536     		y = 0.231460571289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.479461669921875 × 2 - 1) × π
    -0.04107666015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.12904613
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.231460571289062 × 2 - 1) × π
    0.537078857421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.68728299282674
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12904613} λ = -0.12904613}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.68728299282674))-π/2
    2×atan(5.40477592272569)-π/2
    2×1.38784372711388-π/2
    2.77568745422777-1.57079632675     		φ = 1.20489113
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12904613} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.393799°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20489113 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.035177°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31422 KachelY 15169 -0.12904613 1.20489113 -7.393799 69.035177
    Oben rechts KachelX + 1 31423 KachelY 15169 -0.12895026 1.20489113 -7.388306 69.035177
    Unten links KachelX 31422 KachelY + 1 15170 -0.12904613 1.20485682 -7.393799 69.033211
    Unten rechts KachelX + 1 31423 KachelY + 1 15170 -0.12895026 1.20485682 -7.388306 69.033211
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20489113-1.20485682) × R
    3.43099999999819e-05 × 6371000     		dl = 218.589009999884m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20489113-1.20485682) × R
    3.43099999999819e-05 × 6371000     		dr = 218.589009999884m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12904613--0.12895026) × cos(1.20489113) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.357794713957314 × 6371000     		do = 218.536635455771m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12904613--0.12895026) × cos(1.20485682) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.357826752433948 × 6371000     		du = 218.556204165468m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20489113)-sin(1.20485682))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.357794713957314-0.357826752433948)×R²
    abs(-0.12895026--0.12904613)×3.20384766345216e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.20384766345216e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.20384766345216e-05×40589641000000     		ar = 47771.8455504766m²