Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31420 / 39443
↖ ↑ ↗
← S 34.393312°
W  7.404785°		 ← 504.01 m → S 34.393312°
W  7.399292°		 →
↑
504.01 m
↓
↑
504.01 m
↓
S 34.397845°
W  7.404785°		 ← 503.98 m →
254 019 m²		 S 34.397845°
W  7.399292°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31420 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39443 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479438781738281 y=0.601860046386719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479438781738281 × 216)
    floor (0.479438781738281 × 65536)
    floor (31420.5)     		tx = 31420
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.601860046386719 × 216)
    floor (0.601860046386719 × 65536)
    floor (39443.5)     		ty = 39443
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31420 / 39443 ti = "16/31420/39443"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31420/39443.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31420 ÷ 216
    31420 ÷ 65536     		x = 0.47943115234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39443 ÷ 216
    39443 ÷ 65536     		y = 0.601852416992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47943115234375 × 2 - 1) × π
    -0.0411376953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.12923788
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.601852416992188 × 2 - 1) × π
    -0.203704833984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.63995760992775
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12923788} λ = -0.12923788}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.63995760992775))-π/2
    2×atan(0.527314776480758)-π/2
    2×0.485259893924709-π/2
    0.970519787849418-1.57079632675     		φ = -0.60027654
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12923788} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.404785°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.60027654 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.393312°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31420 KachelY 39443 -0.12923788 -0.60027654 -7.404785 -34.393312
    Oben rechts KachelX + 1 31421 KachelY 39443 -0.12914201 -0.60027654 -7.399292 -34.393312
    Unten links KachelX 31420 KachelY + 1 39444 -0.12923788 -0.60035565 -7.404785 -34.397845
    Unten rechts KachelX + 1 31421 KachelY + 1 39444 -0.12914201 -0.60035565 -7.399292 -34.397845
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.60027654--0.60035565) × R
    7.91100000000489e-05 × 6371000     		dl = 504.009810000311m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.60027654--0.60035565) × R
    7.91100000000489e-05 × 6371000     		dr = 504.009810000311m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12923788--0.12914201) × cos(-0.60027654) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.825179437123565 × 6371000     		do = 504.009508250546m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12923788--0.12914201) × cos(-0.60035565) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.825134747621168 × 6371000     		du = 503.982212449035m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.60027654)-sin(-0.60035565))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.825179437123565-0.825134747621168)×R²
    abs(-0.12914201--0.12923788)×4.46895023964444e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.46895023964444e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.46895023964444e-05×40589641000000     		ar = 254018.857948052m²