Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3142 / 3614
↖ ↑ ↗
← N 20.715015°
W 41.923828°		 ← 4 570.59 m → N 20.715015°
W 41.879883°		 →
↑
4 571.19 m
↓
↑
4 571.19 m
↓
N 20.673905°
W 41.923828°		 ← 4 571.83 m →
20 895 871 m²		 N 20.673905°
W 41.879883°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3142 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3614 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.38360595703125 y=0.44122314453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.38360595703125 × 213)
    floor (0.38360595703125 × 8192)
    floor (3142.5)     		tx = 3142
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.44122314453125 × 213)
    floor (0.44122314453125 × 8192)
    floor (3614.5)     		ty = 3614
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3142 / 3614 ti = "13/3142/3614"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3142/3614.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3142 ÷ 213
    3142 ÷ 8192     		x = 0.383544921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3614 ÷ 213
    3614 ÷ 8192     		y = 0.441162109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.383544921875 × 2 - 1) × π
    -0.23291015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.73170884
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.441162109375 × 2 - 1) × π
    0.11767578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.369689369869873
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.73170884} λ = -0.73170884}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.369689369869873))-π/2
    2×atan(1.44728497451109)-π/2
    2×0.966170772837346-π/2
    1.93234154567469-1.57079632675     		φ = 0.36154522
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.73170884} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -41.923828°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36154522 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.715015°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3142 KachelY 3614 -0.73170884 0.36154522 -41.923828 20.715015
    Oben rechts KachelX + 1 3143 KachelY 3614 -0.73094185 0.36154522 -41.879883 20.715015
    Unten links KachelX 3142 KachelY + 1 3615 -0.73170884 0.36082772 -41.923828 20.673905
    Unten rechts KachelX + 1 3143 KachelY + 1 3615 -0.73094185 0.36082772 -41.879883 20.673905
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36154522-0.36082772) × R
    0.000717499999999982 × 6371000     		dl = 4571.19249999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36154522-0.36082772) × R
    0.000717499999999982 × 6371000     		dr = 4571.19249999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.73170884--0.73094185) × cos(0.36154522) × R
    0.000766990000000023 × 0.935351365381345 × 6371000     		do = 4570.58817072842m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.73170884--0.73094185) × cos(0.36082772) × R
    0.000766990000000023 × 0.935604918681879 × 6371000     		du = 4571.82715723014m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36154522)-sin(0.36082772))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.935351365381345-0.935604918681879)×R²
    abs(-0.73094185--0.73170884)×0.000253553300534337×R²
    0.000766990000000023×0.000253553300534337×6371000²
    0.000766990000000023×0.000253553300534337×40589641000000     		ar = 20895871.0859673m²