Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31419 / 38078
↖ ↑ ↗
← S 27.984700°
W  7.410279°		 ← 539.43 m → S 27.984700°
W  7.404785°		 →
↑
539.37 m
↓
↑
539.37 m
↓
S 27.989551°
W  7.410279°		 ← 539.40 m →
290 943 m²		 S 27.989551°
W  7.404785°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31419 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38078 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479423522949219 y=0.581031799316406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479423522949219 × 216)
    floor (0.479423522949219 × 65536)
    floor (31419.5)     		tx = 31419
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.581031799316406 × 216)
    floor (0.581031799316406 × 65536)
    floor (38078.5)     		ty = 38078
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31419 / 38078 ti = "16/31419/38078"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31419/38078.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31419 ÷ 216
    31419 ÷ 65536     		x = 0.479415893554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38078 ÷ 216
    38078 ÷ 65536     		y = 0.581024169921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.479415893554688 × 2 - 1) × π
    -0.041168212890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.12933376
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.581024169921875 × 2 - 1) × π
    -0.16204833984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.509089873964996
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12933376} λ = -0.12933376}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.509089873964996))-π/2
    2×atan(0.601042354251986)-π/2
    2×0.541185584777354-π/2
    1.08237116955471-1.57079632675     		φ = -0.48842516
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12933376} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.410279°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48842516 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.984700°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31419 KachelY 38078 -0.12933376 -0.48842516 -7.410279 -27.984700
    Oben rechts KachelX + 1 31420 KachelY 38078 -0.12923788 -0.48842516 -7.404785 -27.984700
    Unten links KachelX 31419 KachelY + 1 38079 -0.12933376 -0.48850982 -7.410279 -27.989551
    Unten rechts KachelX + 1 31420 KachelY + 1 38079 -0.12923788 -0.48850982 -7.404785 -27.989551
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48842516--0.48850982) × R
    8.46599999999587e-05 × 6371000     		dl = 539.368859999737m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48842516--0.48850982) × R
    8.46599999999587e-05 × 6371000     		dr = 539.368859999737m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12933376--0.12923788) × cos(-0.48842516) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.883072924631577 × 6371000     		do = 539.426402959086m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12933376--0.12923788) × cos(-0.48850982) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.88303319596653 × 6371000     		du = 539.402134645244m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48842516)-sin(-0.48850982))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.883072924631577-0.88303319596653)×R²
    abs(-0.12923788--0.12933376)×3.97286650464235e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.97286650464235e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.97286650464235e-05×40589641000000     		ar = 290943.259405356m²