Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 31418 / 38470
↖ ↑ ↗
← S 29.869229°
W  7.415772°		 ← 529.65 m → S 29.869229°
W  7.410279°		 →
↑
529.62 m
↓
↑
529.62 m
↓
S 29.873992°
W  7.415772°		 ← 529.63 m →
280 509 m²		 S 29.873992°
W  7.410279°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31418 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38470 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479408264160156 y=0.587013244628906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479408264160156 × 216)
    floor (0.479408264160156 × 65536)
    floor (31418.5)     		tx = 31418
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.587013244628906 × 216)
    floor (0.587013244628906 × 65536)
    floor (38470.5)     		ty = 38470
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31418 / 38470 ti = "16/31418/38470"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31418/38470.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31418 ÷ 216
    31418 ÷ 65536     		x = 0.479400634765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38470 ÷ 216
    38470 ÷ 65536     		y = 0.587005615234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.479400634765625 × 2 - 1) × π
    -0.04119873046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.12942963
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.587005615234375 × 2 - 1) × π
    -0.17401123046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.54667240326712
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12942963} λ = -0.12942963}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.54667240326712))-π/2
    2×atan(0.578872864484339)-π/2
    2×0.524739969181137-π/2
    1.04947993836227-1.57079632675     		φ = -0.52131639
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12942963} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.415772°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52131639 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.869229°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31418 KachelY 38470 -0.12942963 -0.52131639 -7.415772 -29.869229
    Oben rechts KachelX + 1 31419 KachelY 38470 -0.12933376 -0.52131639 -7.410279 -29.869229
    Unten links KachelX 31418 KachelY + 1 38471 -0.12942963 -0.52139952 -7.415772 -29.873992
    Unten rechts KachelX + 1 31419 KachelY + 1 38471 -0.12933376 -0.52139952 -7.410279 -29.873992
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52131639--0.52139952) × R
    8.31300000000423e-05 × 6371000     		dl = 529.62123000027m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52131639--0.52139952) × R
    8.31300000000423e-05 × 6371000     		dr = 529.62123000027m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12942963--0.12933376) × cos(-0.52131639) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.86716433990762 × 6371000     		do = 529.653373395686m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12942963--0.12933376) × cos(-0.52139952) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.867122936334558 × 6371000     		du = 529.628084599625m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52131639)-sin(-0.52139952))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.86716433990762-0.867122936334558)×R²
    abs(-0.12933376--0.12942963)×4.14035730617046e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.14035730617046e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.14035730617046e-05×40589641000000     		ar = 280508.974511558m²