Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 31417 / 39619
↖ ↑ ↗
← S 35.187278°
W  7.421264°		 ← 499.18 m → S 35.187278°
W  7.415772°		 →
↑
499.17 m
↓
↑
499.17 m
↓
S 35.191767°
W  7.421264°		 ← 499.15 m →
249 168 m²		 S 35.191767°
W  7.415772°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31417 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39619 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479393005371094 y=0.604545593261719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479393005371094 × 216)
    floor (0.479393005371094 × 65536)
    floor (31417.5)     		tx = 31417
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.604545593261719 × 216)
    floor (0.604545593261719 × 65536)
    floor (39619.5)     		ty = 39619
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31417 / 39619 ti = "16/31417/39619"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31417/39619.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31417 ÷ 216
    31417 ÷ 65536     		x = 0.479385375976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39619 ÷ 216
    39619 ÷ 65536     		y = 0.604537963867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.479385375976562 × 2 - 1) × π
    -0.041229248046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.12952550
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.604537963867188 × 2 - 1) × π
    -0.209075927734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.656831398594009
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12952550} λ = -0.12952550}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.656831398594009))-π/2
    2×atan(0.518491627702161)-π/2
    2×0.478331238275367-π/2
    0.956662476550734-1.57079632675     		φ = -0.61413385
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12952550} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.421264°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.61413385 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -35.187278°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31417 KachelY 39619 -0.12952550 -0.61413385 -7.421264 -35.187278
    Oben rechts KachelX + 1 31418 KachelY 39619 -0.12942963 -0.61413385 -7.415772 -35.187278
    Unten links KachelX 31417 KachelY + 1 39620 -0.12952550 -0.61421220 -7.421264 -35.191767
    Unten rechts KachelX + 1 31418 KachelY + 1 39620 -0.12942963 -0.61421220 -7.415772 -35.191767
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.61413385--0.61421220) × R
    7.83500000000048e-05 × 6371000     		dl = 499.167850000031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.61413385--0.61421220) × R
    7.83500000000048e-05 × 6371000     		dr = 499.167850000031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12952550--0.12942963) × cos(-0.61413385) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.817272873084253 × 6371000     		do = 499.180275632613m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12952550--0.12942963) × cos(-0.61421220) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.817227721321098 × 6371000     		du = 499.152697487884m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.61413385)-sin(-0.61421220))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.817272873084253-0.817227721321098)×R²
    abs(-0.12942963--0.12952550)×4.51517631548937e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.51517631548937e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.51517631548937e-05×40589641000000     		ar = 249167.862015769m²