Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31417 / 38373
↖ ↑ ↗
← S 29.406105°
W  7.421264°		 ← 532.09 m → S 29.406105°
W  7.415772°		 →
↑
532.11 m
↓
↑
532.11 m
↓
S 29.410890°
W  7.421264°		 ← 532.07 m →
283 124 m²		 S 29.410890°
W  7.415772°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31417 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38373 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479393005371094 y=0.585533142089844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479393005371094 × 216)
    floor (0.479393005371094 × 65536)
    floor (31417.5)     		tx = 31417
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.585533142089844 × 216)
    floor (0.585533142089844 × 65536)
    floor (38373.5)     		ty = 38373
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31417 / 38373 ti = "16/31417/38373"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31417/38373.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31417 ÷ 216
    31417 ÷ 65536     		x = 0.479385375976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38373 ÷ 216
    38373 ÷ 65536     		y = 0.585525512695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.479385375976562 × 2 - 1) × π
    -0.041229248046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.12952550
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.585525512695312 × 2 - 1) × π
    -0.171051025390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.537372644740829
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12952550} λ = -0.12952550}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.537372644740829))-π/2
    2×atan(0.584281352176637)-π/2
    2×0.5287814866994-π/2
    1.0575629733988-1.57079632675     		φ = -0.51323335
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12952550} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.421264°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51323335 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.406105°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31417 KachelY 38373 -0.12952550 -0.51323335 -7.421264 -29.406105
    Oben rechts KachelX + 1 31418 KachelY 38373 -0.12942963 -0.51323335 -7.415772 -29.406105
    Unten links KachelX 31417 KachelY + 1 38374 -0.12952550 -0.51331687 -7.421264 -29.410890
    Unten rechts KachelX + 1 31418 KachelY + 1 38374 -0.12942963 -0.51331687 -7.415772 -29.410890
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51323335--0.51331687) × R
    8.35200000000036e-05 × 6371000     		dl = 532.105920000023m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51323335--0.51331687) × R
    8.35200000000036e-05 × 6371000     		dr = 532.105920000023m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12952550--0.12942963) × cos(-0.51323335) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.871161500422327 × 6371000     		do = 532.094790152796m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12952550--0.12942963) × cos(-0.51331687) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.871120489349699 × 6371000     		du = 532.069741091199m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51323335)-sin(-0.51331687))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.871161500422327-0.871120489349699)×R²
    abs(-0.12942963--0.12952550)×4.10110726285495e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.10110726285495e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.10110726285495e-05×40589641000000     		ar = 283124.123629071m²