Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31417 / 38367
↖ ↑ ↗
← S 29.377388°
W  7.421264°		 ← 532.25 m → S 29.377388°
W  7.415772°		 →
↑
532.30 m
↓
↑
532.30 m
↓
S 29.382175°
W  7.421264°		 ← 532.22 m →
283 306 m²		 S 29.382175°
W  7.415772°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31417 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38367 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479393005371094 y=0.585441589355469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479393005371094 × 216)
    floor (0.479393005371094 × 65536)
    floor (31417.5)     		tx = 31417
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.585441589355469 × 216)
    floor (0.585441589355469 × 65536)
    floor (38367.5)     		ty = 38367
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31417 / 38367 ti = "16/31417/38367"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31417/38367.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31417 ÷ 216
    31417 ÷ 65536     		x = 0.479385375976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38367 ÷ 216
    38367 ÷ 65536     		y = 0.585433959960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.479385375976562 × 2 - 1) × π
    -0.041229248046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.12952550
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.585433959960938 × 2 - 1) × π
    -0.170867919921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.536797401945389
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12952550} λ = -0.12952550}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.536797401945389))-π/2
    2×atan(0.584617552504124)-π/2
    2×0.529032086765179-π/2
    1.05806417353036-1.57079632675     		φ = -0.51273215
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12952550} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.421264°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51273215 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.377388°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31417 KachelY 38367 -0.12952550 -0.51273215 -7.421264 -29.377388
    Oben rechts KachelX + 1 31418 KachelY 38367 -0.12942963 -0.51273215 -7.415772 -29.377388
    Unten links KachelX 31417 KachelY + 1 38368 -0.12952550 -0.51281570 -7.421264 -29.382175
    Unten rechts KachelX + 1 31418 KachelY + 1 38368 -0.12942963 -0.51281570 -7.415772 -29.382175
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51273215--0.51281570) × R
    8.35499999999323e-05 × 6371000     		dl = 532.297049999569m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51273215--0.51281570) × R
    8.35499999999323e-05 × 6371000     		dr = 532.297049999569m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12952550--0.12942963) × cos(-0.51273215) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.871407478478701 × 6371000     		do = 532.245030541317m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12952550--0.12942963) × cos(-0.51281570) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.871366489158399 × 6371000     		du = 532.219994765776m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51273215)-sin(-0.51281570))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.871407478478701-0.871366489158399)×R²
    abs(-0.12942963--0.12952550)×4.0989320302387e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.0989320302387e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.0989320302387e-05×40589641000000     		ar = 283305.796564292m²