Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31417 / 14519
↖ ↑ ↗
← N 70.276144°
W  7.421264°		 ← 206.13 m → N 70.276144°
W  7.415772°		 →
↑
206.17 m
↓
↑
206.17 m
↓
N 70.274289°
W  7.421264°		 ← 206.15 m →
42 499 m²		 N 70.274289°
W  7.415772°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31417 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14519 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479393005371094 y=0.221549987792969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479393005371094 × 216)
    floor (0.479393005371094 × 65536)
    floor (31417.5)     		tx = 31417
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.221549987792969 × 216)
    floor (0.221549987792969 × 65536)
    floor (14519.5)     		ty = 14519
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31417 / 14519 ti = "16/31417/14519"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31417/14519.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31417 ÷ 216
    31417 ÷ 65536     		x = 0.479385375976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14519 ÷ 216
    14519 ÷ 65536     		y = 0.221542358398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.479385375976562 × 2 - 1) × π
    -0.041229248046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.12952550
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.221542358398438 × 2 - 1) × π
    0.556915283203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.74960096233281
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12952550} λ = -0.12952550}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.74960096233281))-π/2
    2×atan(5.7523068308731)-π/2
    2×1.3986732093851-π/2
    2.79734641877019-1.57079632675     		φ = 1.22655009
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12952550} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.421264°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22655009 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.276144°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31417 KachelY 14519 -0.12952550 1.22655009 -7.421264 70.276144
    Oben rechts KachelX + 1 31418 KachelY 14519 -0.12942963 1.22655009 -7.415772 70.276144
    Unten links KachelX 31417 KachelY + 1 14520 -0.12952550 1.22651773 -7.421264 70.274289
    Unten rechts KachelX + 1 31418 KachelY + 1 14520 -0.12942963 1.22651773 -7.415772 70.274289
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22655009-1.22651773) × R
    3.23599999998425e-05 × 6371000     		dl = 206.165559998997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22655009-1.22651773) × R
    3.23599999998425e-05 × 6371000     		dr = 206.165559998997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12952550--0.12942963) × cos(1.22655009) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.337487233190828 × 6371000     		do = 206.133074564091m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12952550--0.12942963) × cos(1.22651773) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.337517694456332 × 6371000     		du = 206.15167993252m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22655009)-sin(1.22651773))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.337487233190828-0.337517694456332)×R²
    abs(-0.12942963--0.12952550)×3.04612655038228e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.04612655038228e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.04612655038228e-05×40589641000000     		ar = 42499.4586487464m²