Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31416 / 15607
↖ ↑ ↗
← N 68.157253°
W  7.426758°		 ← 227.27 m → N 68.157253°
W  7.421264°		 →
↑
227.32 m
↓
↑
227.32 m
↓
N 68.155209°
W  7.426758°		 ← 227.29 m →
51 666 m²		 N 68.155209°
W  7.421264°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31416 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15607 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479377746582031 y=0.238151550292969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479377746582031 × 216)
    floor (0.479377746582031 × 65536)
    floor (31416.5)     		tx = 31416
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.238151550292969 × 216)
    floor (0.238151550292969 × 65536)
    floor (15607.5)     		ty = 15607
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31416 / 15607 ti = "16/31416/15607"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31416/15607.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31416 ÷ 216
    31416 ÷ 65536     		x = 0.4793701171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15607 ÷ 216
    15607 ÷ 65536     		y = 0.238143920898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4793701171875 × 2 - 1) × π
    -0.041259765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.12962138
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.238143920898438 × 2 - 1) × π
    0.523712158203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.64529026875957
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12962138} λ = -0.12962138}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.64529026875957))-π/2
    2×atan(5.18251401055408)-π/2
    2×1.38018240140852-π/2
    2.76036480281704-1.57079632675     		φ = 1.18956848
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12962138} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.426758°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18956848 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.157253°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31416 KachelY 15607 -0.12962138 1.18956848 -7.426758 68.157253
    Oben rechts KachelX + 1 31417 KachelY 15607 -0.12952550 1.18956848 -7.421264 68.157253
    Unten links KachelX 31416 KachelY + 1 15608 -0.12962138 1.18953280 -7.426758 68.155209
    Unten rechts KachelX + 1 31417 KachelY + 1 15608 -0.12952550 1.18953280 -7.421264 68.155209
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18956848-1.18953280) × R
    3.56799999998714e-05 × 6371000     		dl = 227.31727999918m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18956848-1.18953280) × R
    3.56799999998714e-05 × 6371000     		dr = 227.31727999918m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12962138--0.12952550) × cos(1.18956848) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.372060447421547 × 6371000     		do = 227.273674956962m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12962138--0.12952550) × cos(1.18953280) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.372093565664068 × 6371000     		du = 227.293905284422m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18956848)-sin(1.18953280))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.372060447421547-0.372093565664068)×R²
    abs(-0.12952550--0.12962138)×3.31182425215015e-05×R²
    9.58800000000204e-05×3.31182425215015e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×3.31182425215015e-05×40589641000000     		ar = 51665.5329640046m²