Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31415 / 39441
↖ ↑ ↗
← S 34.384246°
W  7.432251°		 ← 504.06 m → S 34.384246°
W  7.426758°		 →
↑
504.07 m
↓
↑
504.07 m
↓
S 34.388779°
W  7.432251°		 ← 504.04 m →
254 078 m²		 S 34.388779°
W  7.426758°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31415 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39441 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479362487792969 y=0.601829528808594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479362487792969 × 216)
    floor (0.479362487792969 × 65536)
    floor (31415.5)     		tx = 31415
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.601829528808594 × 216)
    floor (0.601829528808594 × 65536)
    floor (39441.5)     		ty = 39441
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31415 / 39441 ti = "16/31415/39441"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31415/39441.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31415 ÷ 216
    31415 ÷ 65536     		x = 0.479354858398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39441 ÷ 216
    39441 ÷ 65536     		y = 0.601821899414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.479354858398438 × 2 - 1) × π
    -0.041290283203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.12971725
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.601821899414062 × 2 - 1) × π
    -0.203643798828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.639765862329269
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12971725} λ = -0.12971725}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.639765862329269))-π/2
    2×atan(0.52741589751734)-π/2
    2×0.485339011296755-π/2
    0.970678022593509-1.57079632675     		φ = -0.60011830
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12971725} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.432251°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.60011830 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.384246°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31415 KachelY 39441 -0.12971725 -0.60011830 -7.432251 -34.384246
    Oben rechts KachelX + 1 31416 KachelY 39441 -0.12962138 -0.60011830 -7.426758 -34.384246
    Unten links KachelX 31415 KachelY + 1 39442 -0.12971725 -0.60019742 -7.432251 -34.388779
    Unten rechts KachelX + 1 31416 KachelY + 1 39442 -0.12962138 -0.60019742 -7.426758 -34.388779
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.60011830--0.60019742) × R
    7.91199999999881e-05 × 6371000     		dl = 504.073519999924m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.60011830--0.60019742) × R
    7.91199999999881e-05 × 6371000     		dr = 504.073519999924m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12971725--0.12962138) × cos(-0.60011830) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.825268811929991 × 6371000     		do = 504.064097289258m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12971725--0.12962138) × cos(-0.60019742) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.825224127109719 × 6371000     		du = 504.036804347531m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.60011830)-sin(-0.60019742))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.825268811929991-0.825224127109719)×R²
    abs(-0.12962138--0.12971725)×4.46848202720895e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.46848202720895e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.46848202720895e-05×40589641000000     		ar = 254078.48513384m²