Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31413 / 38484
↖ ↑ ↗
← S 29.935895°
W  7.443237°		 ← 529.35 m → S 29.935895°
W  7.437744°		 →
↑
529.30 m
↓
↑
529.30 m
↓
S 29.940656°
W  7.443237°		 ← 529.33 m →
280 182 m²		 S 29.940656°
W  7.437744°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31413 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38484 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479331970214844 y=0.587226867675781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479331970214844 × 216)
    floor (0.479331970214844 × 65536)
    floor (31413.5)     		tx = 31413
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.587226867675781 × 216)
    floor (0.587226867675781 × 65536)
    floor (38484.5)     		ty = 38484
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31413 / 38484 ti = "16/31413/38484"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31413/38484.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31413 ÷ 216
    31413 ÷ 65536     		x = 0.479324340820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38484 ÷ 216
    38484 ÷ 65536     		y = 0.58721923828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.479324340820312 × 2 - 1) × π
    -0.041351318359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.12990900
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58721923828125 × 2 - 1) × π
    -0.1744384765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.548014636456482
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12990900} λ = -0.12990900}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.548014636456482))-π/2
    2×atan(0.578096403325748)-π/2
    2×0.524158195401555-π/2
    1.04831639080311-1.57079632675     		φ = -0.52247994
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12990900} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.443237°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52247994 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.935895°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31413 KachelY 38484 -0.12990900 -0.52247994 -7.443237 -29.935895
    Oben rechts KachelX + 1 31414 KachelY 38484 -0.12981312 -0.52247994 -7.437744 -29.935895
    Unten links KachelX 31413 KachelY + 1 38485 -0.12990900 -0.52256302 -7.443237 -29.940656
    Unten rechts KachelX + 1 31414 KachelY + 1 38485 -0.12981312 -0.52256302 -7.437744 -29.940656
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52247994--0.52256302) × R
    8.30800000000131e-05 × 6371000     		dl = 529.302680000084m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52247994--0.52256302) × R
    8.30800000000131e-05 × 6371000     		dr = 529.302680000084m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12990900--0.12981312) × cos(-0.52247994) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.866584279424621 × 6371000     		do = 529.354289631223m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12990900--0.12981312) × cos(-0.52256302) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.866542816959485 × 6371000     		du = 529.32896222303m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52247994)-sin(-0.52256302))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.866584279424621-0.866542816959485)×R²
    abs(-0.12981312--0.12990900)×4.1462465136366e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.1462465136366e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.1462465136366e-05×40589641000000     		ar = 280181.941399984m²