Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31413 / 19409
↖ ↑ ↗
← N 58.947175°
W  7.443237°		 ← 315.09 m → N 58.947175°
W  7.437744°		 →
↑
315.11 m
↓
↑
315.11 m
↓
N 58.944341°
W  7.443237°		 ← 315.12 m →
99 293 m²		 N 58.944341°
W  7.437744°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31413 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19409 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479331970214844 y=0.296165466308594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479331970214844 × 216)
    floor (0.479331970214844 × 65536)
    floor (31413.5)     		tx = 31413
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.296165466308594 × 216)
    floor (0.296165466308594 × 65536)
    floor (19409.5)     		ty = 19409
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31413 / 19409 ti = "16/31413/19409"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31413/19409.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31413 ÷ 216
    31413 ÷ 65536     		x = 0.479324340820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19409 ÷ 216
    19409 ÷ 65536     		y = 0.296157836914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.479324340820312 × 2 - 1) × π
    -0.041351318359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.12990900
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.296157836914062 × 2 - 1) × π
    0.407684326171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.28077808404866
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12990900} λ = -0.12990900}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28077808404866))-π/2
    2×atan(3.59943930258039)-π/2
    2×1.29980930607656-π/2
    2.59961861215312-1.57079632675     		φ = 1.02882229
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12990900} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.443237°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02882229 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.947175°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31413 KachelY 19409 -0.12990900 1.02882229 -7.443237 58.947175
    Oben rechts KachelX + 1 31414 KachelY 19409 -0.12981312 1.02882229 -7.437744 58.947175
    Unten links KachelX 31413 KachelY + 1 19410 -0.12990900 1.02877283 -7.443237 58.944341
    Unten rechts KachelX + 1 31414 KachelY + 1 19410 -0.12981312 1.02877283 -7.437744 58.944341
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02882229-1.02877283) × R
    4.94599999998346e-05 × 6371000     		dl = 315.109659998946m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02882229-1.02877283) × R
    4.94599999998346e-05 × 6371000     		dr = 315.109659998946m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12990900--0.12981312) × cos(1.02882229) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.51582813730207 × 6371000     		do = 315.094381096589m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12990900--0.12981312) × cos(1.02877283) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.515870508661767 × 6371000     		du = 315.120263704369m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02882229)-sin(1.02877283))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.51582813730207-0.515870508661767)×R²
    abs(-0.12981312--0.12990900)×4.23713596968689e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.23713596968689e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.23713596968689e-05×40589641000000     		ar = 99293.3612450836m²