Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31412 / 19414
↖ ↑ ↗
← N 58.933004°
W  7.448730°		 ← 315.19 m → N 58.933004°
W  7.443237°		 →
↑
315.17 m
↓
↑
315.17 m
↓
N 58.930170°
W  7.448730°		 ← 315.22 m →
99 344 m²		 N 58.930170°
W  7.443237°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31412 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19414 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479316711425781 y=0.296241760253906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479316711425781 × 216)
    floor (0.479316711425781 × 65536)
    floor (31412.5)     		tx = 31412
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.296241760253906 × 216)
    floor (0.296241760253906 × 65536)
    floor (19414.5)     		ty = 19414
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31412 / 19414 ti = "16/31412/19414"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31412/19414.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31412 ÷ 216
    31412 ÷ 65536     		x = 0.47930908203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19414 ÷ 216
    19414 ÷ 65536     		y = 0.296234130859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47930908203125 × 2 - 1) × π
    -0.0413818359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.13000487
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.296234130859375 × 2 - 1) × π
    0.40753173828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.28029871505246
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13000487} λ = -0.13000487}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28029871505246))-π/2
    2×atan(3.59771425647487)-π/2
    2×1.29968564467829-π/2
    2.59937128935659-1.57079632675     		φ = 1.02857496
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13000487} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.448730°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02857496 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.933004°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31412 KachelY 19414 -0.13000487 1.02857496 -7.448730 58.933004
    Oben rechts KachelX + 1 31413 KachelY 19414 -0.12990900 1.02857496 -7.443237 58.933004
    Unten links KachelX 31412 KachelY + 1 19415 -0.13000487 1.02852549 -7.448730 58.930170
    Unten rechts KachelX + 1 31413 KachelY + 1 19415 -0.12990900 1.02852549 -7.443237 58.930170
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02857496-1.02852549) × R
    4.94699999999959e-05 × 6371000     		dl = 315.173369999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02857496-1.02852549) × R
    4.94699999999959e-05 × 6371000     		dr = 315.173369999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13000487--0.12990900) × cos(1.02857496) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.516040007176756 × 6371000     		do = 315.190925214268m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13000487--0.12990900) × cos(1.02852549) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.516082380790192 × 6371000     		du = 315.216806499125m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02857496)-sin(1.02852549))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.516040007176756-0.516082380790192)×R²
    abs(-0.12990900--0.13000487)×4.23736134358421e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.23736134358421e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.23736134358421e-05×40589641000000     		ar = 99343.8646591916m²