Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31411 / 39440
↖ ↑ ↗
← S 34.379713°
W  7.454224°		 ← 504.14 m → S 34.379713°
W  7.448730°		 →
↑
504.07 m
↓
↑
504.07 m
↓
S 34.384246°
W  7.454224°		 ← 504.12 m →
254 119 m²		 S 34.384246°
W  7.448730°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31411 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39440 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479301452636719 y=0.601814270019531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479301452636719 × 216)
    floor (0.479301452636719 × 65536)
    floor (31411.5)     		tx = 31411
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.601814270019531 × 216)
    floor (0.601814270019531 × 65536)
    floor (39440.5)     		ty = 39440
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31411 / 39440 ti = "16/31411/39440"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31411/39440.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31411 ÷ 216
    31411 ÷ 65536     		x = 0.479293823242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39440 ÷ 216
    39440 ÷ 65536     		y = 0.601806640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.479293823242188 × 2 - 1) × π
    -0.041412353515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.13010075
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.601806640625 × 2 - 1) × π
    -0.20361328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.639669988530029
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13010075} λ = -0.13010075}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.639669988530029))-π/2
    2×atan(0.527466465307239)-π/2
    2×0.485378573195802-π/2
    0.970757146391605-1.57079632675     		φ = -0.60003918
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13010075} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.454224°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.60003918 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.379713°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31411 KachelY 39440 -0.13010075 -0.60003918 -7.454224 -34.379713
    Oben rechts KachelX + 1 31412 KachelY 39440 -0.13000487 -0.60003918 -7.448730 -34.379713
    Unten links KachelX 31411 KachelY + 1 39441 -0.13010075 -0.60011830 -7.454224 -34.384246
    Unten rechts KachelX + 1 31412 KachelY + 1 39441 -0.13000487 -0.60011830 -7.448730 -34.384246
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.60003918--0.60011830) × R
    7.91199999999881e-05 × 6371000     		dl = 504.073519999924m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.60003918--0.60011830) × R
    7.91199999999881e-05 × 6371000     		dr = 504.073519999924m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13010075--0.13000487) × cos(-0.60003918) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.825313491584101 × 6371000     		do = 504.143967798077m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13010075--0.13000487) × cos(-0.60011830) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.825268811929991 × 6371000     		du = 504.116675165238m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.60003918)-sin(-0.60011830))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.825313491584101-0.825268811929991)×R²
    abs(-0.13000487--0.13010075)×4.46796541104799e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.46796541104799e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.46796541104799e-05×40589641000000     		ar = 254118.745820797m²