Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31410 / 38466
↖ ↑ ↗
← S 29.850173°
W  7.459717°		 ← 529.75 m → S 29.850173°
W  7.454224°		 →
↑
529.81 m
↓
↑
529.81 m
↓
S 29.854938°
W  7.459717°		 ← 529.73 m →
280 664 m²		 S 29.854938°
W  7.454224°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31410 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38466 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479286193847656 y=0.586952209472656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479286193847656 × 216)
    floor (0.479286193847656 × 65536)
    floor (31410.5)     		tx = 31410
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.586952209472656 × 216)
    floor (0.586952209472656 × 65536)
    floor (38466.5)     		ty = 38466
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31410 / 38466 ti = "16/31410/38466"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31410/38466.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31410 ÷ 216
    31410 ÷ 65536     		x = 0.479278564453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38466 ÷ 216
    38466 ÷ 65536     		y = 0.586944580078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.479278564453125 × 2 - 1) × π
    -0.04144287109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.13019662
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.586944580078125 × 2 - 1) × π
    -0.17388916015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.54628890807016
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13019662} λ = -0.13019662}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.54628890807016))-π/2
    2×atan(0.579094902019962)-π/2
    2×0.524906261737412-π/2
    1.04981252347482-1.57079632675     		φ = -0.52098380
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13019662} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.459717°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52098380 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.850173°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31410 KachelY 38466 -0.13019662 -0.52098380 -7.459717 -29.850173
    Oben rechts KachelX + 1 31411 KachelY 38466 -0.13010075 -0.52098380 -7.454224 -29.850173
    Unten links KachelX 31410 KachelY + 1 38467 -0.13019662 -0.52106696 -7.459717 -29.854938
    Unten rechts KachelX + 1 31411 KachelY + 1 38467 -0.13010075 -0.52106696 -7.454224 -29.854938
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52098380--0.52106696) × R
    8.3159999999971e-05 × 6371000     		dl = 529.812359999815m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52098380--0.52106696) × R
    8.3159999999971e-05 × 6371000     		dr = 529.812359999815m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13019662--0.13010075) × cos(-0.52098380) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.867329929112132 × 6371000     		do = 529.754513256799m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13019662--0.13010075) × cos(-0.52106696) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.867288534582153 × 6371000     		du = 529.729229984143m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52098380)-sin(-0.52106696))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.867329929112132-0.867288534582153)×R²
    abs(-0.13010075--0.13019662)×4.13945299787555e-05×R²
    9.58700000000257e-05×4.13945299787555e-05×6371000²
    9.58700000000257e-05×4.13945299787555e-05×40589641000000     		ar = 280663.791355752m²