Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31410 / 19416
↖ ↑ ↗
← N 58.927335°
W  7.459717°		 ← 315.24 m → N 58.927335°
W  7.454224°		 →
↑
315.30 m
↓
↑
315.30 m
↓
N 58.924499°
W  7.459717°		 ← 315.27 m →
99 400 m²		 N 58.924499°
W  7.454224°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31410 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19416 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479286193847656 y=0.296272277832031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479286193847656 × 216)
    floor (0.479286193847656 × 65536)
    floor (31410.5)     		tx = 31410
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.296272277832031 × 216)
    floor (0.296272277832031 × 65536)
    floor (19416.5)     		ty = 19416
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31410 / 19416 ti = "16/31410/19416"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31410/19416.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31410 ÷ 216
    31410 ÷ 65536     		x = 0.479278564453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19416 ÷ 216
    19416 ÷ 65536     		y = 0.2962646484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.479278564453125 × 2 - 1) × π
    -0.04144287109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.13019662
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2962646484375 × 2 - 1) × π
    0.407470703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.28010696745398
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13019662} λ = -0.13019662}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28010696745398))-π/2
    2×atan(3.59702446954078)-π/2
    2×1.29963616589935-π/2
    2.5992723317987-1.57079632675     		φ = 1.02847601
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13019662} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.459717°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02847601 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.927335°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31410 KachelY 19416 -0.13019662 1.02847601 -7.459717 58.927335
    Oben rechts KachelX + 1 31411 KachelY 19416 -0.13010075 1.02847601 -7.454224 58.927335
    Unten links KachelX 31410 KachelY + 1 19417 -0.13019662 1.02842652 -7.459717 58.924499
    Unten rechts KachelX + 1 31411 KachelY + 1 19417 -0.13010075 1.02842652 -7.454224 58.924499
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02847601-1.02842652) × R
    4.94900000000964e-05 × 6371000     		dl = 315.300790000614m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02847601-1.02842652) × R
    4.94900000000964e-05 × 6371000     		dr = 315.300790000614m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13019662--0.13010075) × cos(1.02847601) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.516124761705763 × 6371000     		do = 315.242692244129m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13019662--0.13010075) × cos(1.02842652) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.516167149922601 × 6371000     		du = 315.268582448565m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02847601)-sin(1.02842652))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.516124761705763-0.516167149922601)×R²
    abs(-0.13010075--0.13019662)×4.23882168373302e-05×R²
    9.58700000000257e-05×4.23882168373302e-05×6371000²
    9.58700000000257e-05×4.23882168373302e-05×40589641000000     		ar = 99400.3515278233m²