Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31410 / 19407
↖ ↑ ↗
← N 58.952842°
W  7.459717°		 ← 315.01 m → N 58.952842°
W  7.454224°		 →
↑
315.05 m
↓
↑
315.05 m
↓
N 58.950008°
W  7.459717°		 ← 315.04 m →
99 247 m²		 N 58.950008°
W  7.454224°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31410 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19407 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479286193847656 y=0.296134948730469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479286193847656 × 216)
    floor (0.479286193847656 × 65536)
    floor (31410.5)     		tx = 31410
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.296134948730469 × 216)
    floor (0.296134948730469 × 65536)
    floor (19407.5)     		ty = 19407
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31410 / 19407 ti = "16/31410/19407"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31410/19407.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31410 ÷ 216
    31410 ÷ 65536     		x = 0.479278564453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19407 ÷ 216
    19407 ÷ 65536     		y = 0.296127319335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.479278564453125 × 2 - 1) × π
    -0.04144287109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.13019662
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.296127319335938 × 2 - 1) × π
    0.407745361328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.28096983164714
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13019662} λ = -0.13019662}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28096983164714))-π/2
    2×atan(3.60012955259731)-π/2
    2×1.29985875641846-π/2
    2.59971751283691-1.57079632675     		φ = 1.02892119
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13019662} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.459717°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02892119 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.952842°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31410 KachelY 19407 -0.13019662 1.02892119 -7.459717 58.952842
    Oben rechts KachelX + 1 31411 KachelY 19407 -0.13010075 1.02892119 -7.454224 58.952842
    Unten links KachelX 31410 KachelY + 1 19408 -0.13019662 1.02887174 -7.459717 58.950008
    Unten rechts KachelX + 1 31411 KachelY + 1 19408 -0.13010075 1.02887174 -7.454224 58.950008
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02892119-1.02887174) × R
    4.94499999998954e-05 × 6371000     		dl = 315.045949999334m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02892119-1.02887174) × R
    4.94499999998954e-05 × 6371000     		dr = 315.045949999334m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13019662--0.13010075) × cos(1.02892119) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.515743407932044 × 6371000     		do = 315.009766023098m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13019662--0.13010075) × cos(1.02887174) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.515785773247683 × 6371000     		du = 315.035642239762m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02892119)-sin(1.02887174))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.515743407932044-0.515785773247683)×R²
    abs(-0.13010075--0.13019662)×4.23653156391701e-05×R²
    9.58700000000257e-05×4.23653156391701e-05×6371000²
    9.58700000000257e-05×4.23653156391701e-05×40589641000000     		ar = 99246.6271148092m²