Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3141 / 3617
↖ ↑ ↗
← N 20.591652°
W 41.967774°		 ← 4 574.30 m → N 20.591652°
W 41.923828°		 →
↑
4 574.95 m
↓
↑
4 574.95 m
↓
N 20.550509°
W 41.967774°		 ← 4 575.53 m →
20 930 017 m²		 N 20.550509°
W 41.923828°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3141 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3617 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.38348388671875 y=0.44158935546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.38348388671875 × 213)
    floor (0.38348388671875 × 8192)
    floor (3141.5)     		tx = 3141
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.44158935546875 × 213)
    floor (0.44158935546875 × 8192)
    floor (3617.5)     		ty = 3617
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3141 / 3617 ti = "13/3141/3617"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3141/3617.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3141 ÷ 213
    3141 ÷ 8192     		x = 0.3834228515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3617 ÷ 213
    3617 ÷ 8192     		y = 0.4415283203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3834228515625 × 2 - 1) × π
    -0.233154296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.73247583
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4415283203125 × 2 - 1) × π
    0.116943359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.36738839868811
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.73247583} λ = -0.73247583}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.36738839868811))-π/2
    2×atan(1.44395864185832)-π/2
    2×0.965094227359405-π/2
    1.93018845471881-1.57079632675     		φ = 0.35939213
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.73247583} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -41.967774°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35939213 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.591652°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3141 KachelY 3617 -0.73247583 0.35939213 -41.967774 20.591652
    Oben rechts KachelX + 1 3142 KachelY 3617 -0.73170884 0.35939213 -41.923828 20.591652
    Unten links KachelX 3141 KachelY + 1 3618 -0.73247583 0.35867404 -41.967774 20.550509
    Unten rechts KachelX + 1 3142 KachelY + 1 3618 -0.73170884 0.35867404 -41.923828 20.550509
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35939213-0.35867404) × R
    0.000718089999999949 × 6371000     		dl = 4574.95138999968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35939213-0.35867404) × R
    0.000718089999999949 × 6371000     		dr = 4574.95138999968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.73247583--0.73170884) × cos(0.35939213) × R
    0.000766990000000023 × 0.936110787693217 × 6371000     		do = 4574.29908275966m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.73247583--0.73170884) × cos(0.35867404) × R
    0.000766990000000023 × 0.936363102350712 × 6371000     		du = 4575.53201664048m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35939213)-sin(0.35867404))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.936110787693217-0.936363102350712)×R²
    abs(-0.73170884--0.73247583)×0.000252314657494979×R²
    0.000766990000000023×0.000252314657494979×6371000²
    0.000766990000000023×0.000252314657494979×40589641000000     		ar = 20930017.1526182m²