Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 31409 / 19639
↖ ↑ ↗
← N 77.356482°
W 93.732605°		 ← 66.84 m → N 77.356482°
W 93.729859°		 →
↑
66.90 m
↓
↑
66.90 m
↓
N 77.355880°
W 93.732605°		 ← 66.84 m →
4 471 m²		 N 77.355880°
W 93.729859°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31409 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19639 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.239635467529297 y=0.149837493896484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.239635467529297 × 217)
    floor (0.239635467529297 × 131072)
    floor (31409.5)     		tx = 31409
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.149837493896484 × 217)
    floor (0.149837493896484 × 131072)
    floor (19639.5)     		ty = 19639
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 31409 / 19639 ti = "17/31409/19639"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/31409/19639.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31409 ÷ 217
    31409 ÷ 131072     		x = 0.239631652832031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19639 ÷ 217
    19639 ÷ 131072     		y = 0.149833679199219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.239631652832031 × 2 - 1) × π
    -0.520736694335938 × 3.1415926535     		Λ = -1.63594257
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.149833679199219 × 2 - 1) × π
    0.700332641601562 × 3.1415926535     		Φ = 2.20015988186172
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.63594257} λ = -1.63594257}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.20015988186172))-π/2
    2×atan(9.02645655075023)-π/2
    2×1.46046081231116-π/2
    2.92092162462232-1.57079632675     		φ = 1.35012530
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.63594257} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -93.732605°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35012530 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.356482°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31409 KachelY 19639 -1.63594257 1.35012530 -93.732605 77.356482
    Oben rechts KachelX + 1 31410 KachelY 19639 -1.63589464 1.35012530 -93.729859 77.356482
    Unten links KachelX 31409 KachelY + 1 19640 -1.63594257 1.35011480 -93.732605 77.355880
    Unten rechts KachelX + 1 31410 KachelY + 1 19640 -1.63589464 1.35011480 -93.729859 77.355880
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35012530-1.35011480) × R
    1.04999999999134e-05 × 6371000     		dl = 66.895499999448m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35012530-1.35011480) × R
    1.04999999999134e-05 × 6371000     		dr = 66.895499999448m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.63594257--1.63589464) × cos(1.35012530) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.218884427237413 × 6371000     		do = 66.8389930366448m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.63594257--1.63589464) × cos(1.35011480) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.21889467260866 × 6371000     		du = 66.8421215840068m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35012530)-sin(1.35011480))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.218884427237413-0.21889467260866)×R²
    abs(-1.63589464--1.63594257)×1.02453712466088e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.02453712466088e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.02453712466088e-05×40589641000000     		ar = 4471.33250158694m²