Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31409 / 19473
↖ ↑ ↗
← N 58.765352°
W  7.465210°		 ← 316.72 m → N 58.765352°
W  7.459717°		 →
↑
316.77 m
↓
↑
316.77 m
↓
N 58.762503°
W  7.465210°		 ← 316.75 m →
100 330 m²		 N 58.762503°
W  7.459717°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31409 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19473 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479270935058594 y=0.297142028808594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479270935058594 × 216)
    floor (0.479270935058594 × 65536)
    floor (31409.5)     		tx = 31409
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.297142028808594 × 216)
    floor (0.297142028808594 × 65536)
    floor (19473.5)     		ty = 19473
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31409 / 19473 ti = "16/31409/19473"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31409/19473.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31409 ÷ 216
    31409 ÷ 65536     		x = 0.479263305664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19473 ÷ 216
    19473 ÷ 65536     		y = 0.297134399414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.479263305664062 × 2 - 1) × π
    -0.041473388671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.13029249
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.297134399414062 × 2 - 1) × π
    0.405731201171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.27464216089729
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13029249} λ = -0.13029249}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.27464216089729))-π/2
    2×atan(3.57742103989706)-π/2
    2×1.2982226011317-π/2
    2.59644520226341-1.57079632675     		φ = 1.02564888
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13029249} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.465210°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02564888 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.765352°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31409 KachelY 19473 -0.13029249 1.02564888 -7.465210 58.765352
    Oben rechts KachelX + 1 31410 KachelY 19473 -0.13019662 1.02564888 -7.459717 58.765352
    Unten links KachelX 31409 KachelY + 1 19474 -0.13029249 1.02559916 -7.465210 58.762503
    Unten rechts KachelX + 1 31410 KachelY + 1 19474 -0.13019662 1.02559916 -7.459717 58.762503
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02564888-1.02559916) × R
    4.97200000000309e-05 × 6371000     		dl = 316.766120000197m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02564888-1.02559916) × R
    4.97200000000309e-05 × 6371000     		dr = 316.766120000197m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13029249--0.13019662) × cos(1.02564888) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.518544170646965 × 6371000     		do = 316.720437635952m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13029249--0.13019662) × cos(1.02559916) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.518586683133891 × 6371000     		du = 316.746403743039m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02564888)-sin(1.02559916))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.518544170646965-0.518586683133891)×R²
    abs(-0.13019662--0.13029249)×4.2512486925772e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.2512486925772e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.2512486925772e-05×40589641000000     		ar = 100330.416767031m²