Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 31404 / 19726
↖ ↑ ↗
← N 58.037189°
W  7.492676°		 ← 323.33 m → N 58.037189°
W  7.487183°		 →
↑
323.33 m
↓
↑
323.33 m
↓
N 58.034281°
W  7.492676°		 ← 323.36 m →
104 547 m²		 N 58.034281°
W  7.487183°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31404 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19726 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479194641113281 y=0.301002502441406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479194641113281 × 216)
    floor (0.479194641113281 × 65536)
    floor (31404.5)     		tx = 31404
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.301002502441406 × 216)
    floor (0.301002502441406 × 65536)
    floor (19726.5)     		ty = 19726
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31404 / 19726 ti = "16/31404/19726"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31404/19726.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31404 ÷ 216
    31404 ÷ 65536     		x = 0.47918701171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19726 ÷ 216
    19726 ÷ 65536     		y = 0.300994873046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47918701171875 × 2 - 1) × π
    -0.0416259765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.13077186
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.300994873046875 × 2 - 1) × π
    0.39801025390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.25038608968954
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13077186} λ = -0.13077186}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25038608968954))-π/2
    2×atan(3.49169080306859)-π/2
    2×1.29186817921159-π/2
    2.58373635842317-1.57079632675     		φ = 1.01294003
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13077186} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.492676°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01294003 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.037189°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31404 KachelY 19726 -0.13077186 1.01294003 -7.492676 58.037189
    Oben rechts KachelX + 1 31405 KachelY 19726 -0.13067599 1.01294003 -7.487183 58.037189
    Unten links KachelX 31404 KachelY + 1 19727 -0.13077186 1.01288928 -7.492676 58.034281
    Unten rechts KachelX + 1 31405 KachelY + 1 19727 -0.13067599 1.01288928 -7.487183 58.034281
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01294003-1.01288928) × R
    5.07499999999883e-05 × 6371000     		dl = 323.328249999926m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01294003-1.01288928) × R
    5.07499999999883e-05 × 6371000     		dr = 323.328249999926m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13077186--0.13067599) × cos(1.01294003) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.529368715292052 × 6371000     		do = 323.33193712099m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13077186--0.13067599) × cos(1.01288928) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.529411770497671 × 6371000     		du = 323.358234714017m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01294003)-sin(1.01288928))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.529368715292052-0.529411770497671)×R²
    abs(-0.13067599--0.13077186)×4.30552056186473e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.30552056186473e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.30552056186473e-05×40589641000000     		ar = 104546.600798081m²