Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31403 / 19395
↖ ↑ ↗
← N 58.986821°
W  7.498169°		 ← 314.73 m → N 58.986821°
W  7.492676°		 →
↑
314.73 m
↓
↑
314.73 m
↓
N 58.983991°
W  7.498169°		 ← 314.76 m →
99 059 m²		 N 58.983991°
W  7.492676°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31403 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19395 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479179382324219 y=0.295951843261719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479179382324219 × 216)
    floor (0.479179382324219 × 65536)
    floor (31403.5)     		tx = 31403
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.295951843261719 × 216)
    floor (0.295951843261719 × 65536)
    floor (19395.5)     		ty = 19395
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31403 / 19395 ti = "16/31403/19395"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31403/19395.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31403 ÷ 216
    31403 ÷ 65536     		x = 0.479171752929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19395 ÷ 216
    19395 ÷ 65536     		y = 0.295944213867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.479171752929688 × 2 - 1) × π
    -0.041656494140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.13086774
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.295944213867188 × 2 - 1) × π
    0.408111572265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.28212031723802
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13086774} λ = -0.13086774}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28212031723802))-π/2
    2×atan(3.60427383328337)-π/2
    2×1.30015528791752-π/2
    2.60031057583505-1.57079632675     		φ = 1.02951425
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13086774} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.498169°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02951425 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.986821°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31403 KachelY 19395 -0.13086774 1.02951425 -7.498169 58.986821
    Oben rechts KachelX + 1 31404 KachelY 19395 -0.13077186 1.02951425 -7.492676 58.986821
    Unten links KachelX 31403 KachelY + 1 19396 -0.13086774 1.02946485 -7.498169 58.983991
    Unten rechts KachelX + 1 31404 KachelY + 1 19396 -0.13077186 1.02946485 -7.492676 58.983991
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02951425-1.02946485) × R
    4.93999999999772e-05 × 6371000     		dl = 314.727399999855m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02951425-1.02946485) × R
    4.93999999999772e-05 × 6371000     		dr = 314.727399999855m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13086774--0.13077186) × cos(1.02951425) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.515235217201037 × 6371000     		do = 314.732194975442m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13086774--0.13077186) × cos(1.02946485) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.515277554783791 × 6371000     		du = 314.758056950527m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02951425)-sin(1.02946485))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.515235217201037-0.515277554783791)×R²
    abs(-0.13077186--0.13086774)×4.23375827544037e-05×R²
    9.58800000000204e-05×4.23375827544037e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×4.23375827544037e-05×40589641000000     		ar = 99058.9151768676m²