Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31400 / 14697
↖ ↑ ↗
← N 69.943491°
W  7.514649°		 ← 209.49 m → N 69.943491°
W  7.509155°		 →
↑
209.48 m
↓
↑
209.48 m
↓
N 69.941607°
W  7.514649°		 ← 209.51 m →
43 886 m²		 N 69.941607°
W  7.509155°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31400 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14697 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479133605957031 y=0.224266052246094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479133605957031 × 216)
    floor (0.479133605957031 × 65536)
    floor (31400.5)     		tx = 31400
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.224266052246094 × 216)
    floor (0.224266052246094 × 65536)
    floor (14697.5)     		ty = 14697
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31400 / 14697 ti = "16/31400/14697"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31400/14697.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31400 ÷ 216
    31400 ÷ 65536     		x = 0.4791259765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14697 ÷ 216
    14697 ÷ 65536     		y = 0.224258422851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4791259765625 × 2 - 1) × π
    -0.041748046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.13115536
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.224258422851562 × 2 - 1) × π
    0.551483154296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.73253542606807
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13115536} λ = -0.13115536}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.73253542606807))-π/2
    2×atan(5.65497351486944)-π/2
    2×1.39577027079114-π/2
    2.79154054158228-1.57079632675     		φ = 1.22074421
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13115536} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.514649°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22074421 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.943491°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31400 KachelY 14697 -0.13115536 1.22074421 -7.514649 69.943491
    Oben rechts KachelX + 1 31401 KachelY 14697 -0.13105948 1.22074421 -7.509155 69.943491
    Unten links KachelX 31400 KachelY + 1 14698 -0.13115536 1.22071133 -7.514649 69.941607
    Unten rechts KachelX + 1 31401 KachelY + 1 14698 -0.13105948 1.22071133 -7.509155 69.941607
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22074421-1.22071133) × R
    3.28800000000129e-05 × 6371000     		dl = 209.478480000082m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22074421-1.22071133) × R
    3.28800000000129e-05 × 6371000     		dr = 209.478480000082m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13115536--0.13105948) × cos(1.22074421) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.342946764084753 × 6371000     		do = 209.489538402366m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13115536--0.13105948) × cos(1.22071133) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.342977649886536 × 6371000     		du = 209.508405040096m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22074421)-sin(1.22071133))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.342946764084753-0.342977649886536)×R²
    abs(-0.13105948--0.13115536)×3.08858017822322e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.08858017822322e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.08858017822322e-05×40589641000000     		ar = 43885.5261619439m²