Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3140 / 3126
↖ ↑ ↗
← S 68.334376°
E 95.976562°		 ← 3 608.08 m → S 68.334376°
E 96.064453°		 →
↑
3 605.54 m
↓
↑
3 605.54 m
↓
S 68.366801°
E 95.976562°		 ← 3 602.94 m →
12 999 815 m²		 S 68.366801°
E 96.064453°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3140 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3126 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.7667236328125 y=0.7633056640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.7667236328125 × 212)
    floor (0.7667236328125 × 4096)
    floor (3140.5)     		tx = 3140
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7633056640625 × 212)
    floor (0.7633056640625 × 4096)
    floor (3126.5)     		ty = 3126
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3140 / 3126 ti = "12/3140/3126"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3140/3126.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3140 ÷ 212
    3140 ÷ 4096     		x = 0.7666015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3126 ÷ 212
    3126 ÷ 4096     		y = 0.76318359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7666015625 × 2 - 1) × π
    0.533203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.67510702
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76318359375 × 2 - 1) × π
    -0.5263671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.65363128929346
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67510702} λ = 1.67510702}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65363128929346))-π/2
    2×atan(0.191353784522702)-π/2
    2×0.189068237170689-π/2
    0.378136474341379-1.57079632675     		φ = -1.19265985
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67510702} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.976562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19265985 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.334376°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3140 KachelY 3126 1.67510702 -1.19265985 95.976562 -68.334376
    Oben rechts KachelX + 1 3141 KachelY 3126 1.67664100 -1.19265985 96.064453 -68.334376
    Unten links KachelX 3140 KachelY + 1 3127 1.67510702 -1.19322578 95.976562 -68.366801
    Unten rechts KachelX + 1 3141 KachelY + 1 3127 1.67664100 -1.19322578 96.064453 -68.366801
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19265985--1.19322578) × R
    0.000565929999999826 × 6371000     		dl = 3605.54002999889m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19265985--1.19322578) × R
    0.000565929999999826 × 6371000     		dr = 3605.54002999889m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67510702-1.67664100) × cos(-1.19265985) × R
    0.00153398000000005 × 0.369189238265422 × 6371000     		do = 3608.0814710485m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67510702-1.67664100) × cos(-1.19322578) × R
    0.00153398000000005 × 0.368663229726192 × 6371000     		du = 3602.94079665364m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19265985)-sin(-1.19322578))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.369189238265422-0.368663229726192)×R²
    abs(1.67664100-1.67510702)×0.000526008539230072×R²
    0.00153398000000005×0.000526008539230072×6371000²
    0.00153398000000005×0.000526008539230072×40589641000000     		ar = 12999815.0686694m²