Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31398 / 14694
↖ ↑ ↗
← N 69.949142°
W  7.525634°		 ← 209.41 m → N 69.949142°
W  7.520142°		 →
↑
209.41 m
↓
↑
209.41 m
↓
N 69.947259°
W  7.525634°		 ← 209.43 m →
43 856 m²		 N 69.947259°
W  7.520142°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31398 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14694 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479103088378906 y=0.224220275878906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479103088378906 × 216)
    floor (0.479103088378906 × 65536)
    floor (31398.5)     		tx = 31398
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.224220275878906 × 216)
    floor (0.224220275878906 × 65536)
    floor (14694.5)     		ty = 14694
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31398 / 14694 ti = "16/31398/14694"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31398/14694.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31398 ÷ 216
    31398 ÷ 65536     		x = 0.479095458984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14694 ÷ 216
    14694 ÷ 65536     		y = 0.224212646484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.479095458984375 × 2 - 1) × π
    -0.04180908203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.13134710
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.224212646484375 × 2 - 1) × π
    0.55157470703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.73282304746579
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13134710} λ = -0.13134710}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.73282304746579))-π/2
    2×atan(5.65660024018515)-π/2
    2×1.3958195835423-π/2
    2.79163916708461-1.57079632675     		φ = 1.22084284
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13134710} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.525634°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22084284 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.949142°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31398 KachelY 14694 -0.13134710 1.22084284 -7.525634 69.949142
    Oben rechts KachelX + 1 31399 KachelY 14694 -0.13125123 1.22084284 -7.520142 69.949142
    Unten links KachelX 31398 KachelY + 1 14695 -0.13134710 1.22080997 -7.525634 69.947259
    Unten rechts KachelX + 1 31399 KachelY + 1 14695 -0.13125123 1.22080997 -7.520142 69.947259
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22084284-1.22080997) × R
    3.28700000000737e-05 × 6371000     		dl = 209.414770000469m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22084284-1.22080997) × R
    3.28700000000737e-05 × 6371000     		dr = 209.414770000469m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13134710--0.13125123) × cos(1.22084284) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.34285411384888 × 6371000     		do = 209.411099633079m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13134710--0.13125123) × cos(1.22080997) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.342884991368949 × 6371000     		du = 209.429959244705m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22084284)-sin(1.22080997))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.34285411384888-0.342884991368949)×R²
    abs(-0.13125123--0.13134710)×3.08775200689726e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.08775200689726e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.08775200689726e-05×40589641000000     		ar = 43855.7520096406m²