Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31395 / 19248
↖ ↑ ↗
← N 59.400365°
W  7.542114°		 ← 310.95 m → N 59.400365°
W  7.536621°		 →
↑
310.97 m
↓
↑
310.97 m
↓
N 59.397569°
W  7.542114°		 ← 310.97 m →
96 698 m²		 N 59.397569°
W  7.536621°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31395 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19248 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479057312011719 y=0.293708801269531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479057312011719 × 216)
    floor (0.479057312011719 × 65536)
    floor (31395.5)     		tx = 31395
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.293708801269531 × 216)
    floor (0.293708801269531 × 65536)
    floor (19248.5)     		ty = 19248
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31395 / 19248 ti = "16/31395/19248"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31395/19248.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31395 ÷ 216
    31395 ÷ 65536     		x = 0.479049682617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19248 ÷ 216
    19248 ÷ 65536     		y = 0.293701171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.479049682617188 × 2 - 1) × π
    -0.041900634765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.13163473
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.293701171875 × 2 - 1) × π
    0.41259765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.29621376572632
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13163473} λ = -0.13163473}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.29621376572632))-π/2
    2×atan(3.65543011838339)-π/2
    2×1.30376413768487-π/2
    2.60752827536973-1.57079632675     		φ = 1.03673195
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13163473} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.542114°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03673195 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.400365°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31395 KachelY 19248 -0.13163473 1.03673195 -7.542114 59.400365
    Oben rechts KachelX + 1 31396 KachelY 19248 -0.13153885 1.03673195 -7.536621 59.400365
    Unten links KachelX 31395 KachelY + 1 19249 -0.13163473 1.03668314 -7.542114 59.397569
    Unten rechts KachelX + 1 31396 KachelY + 1 19249 -0.13153885 1.03668314 -7.536621 59.397569
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03673195-1.03668314) × R
    4.88100000000102e-05 × 6371000     		dl = 310.968510000065m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03673195-1.03668314) × R
    4.88100000000102e-05 × 6371000     		dr = 310.968510000065m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13163473--0.13153885) × cos(1.03673195) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.509035929098899 × 6371000     		do = 310.945350663214m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13163473--0.13153885) × cos(1.03668314) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.50907794146923 × 6371000     		du = 310.971013981809m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03673195)-sin(1.03668314))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.509035929098899-0.50907794146923)×R²
    abs(-0.13153885--0.13163473)×4.20123703310793e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.20123703310793e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.20123703310793e-05×40589641000000     		ar = 96698.2026484465m²