Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31392 / 19430
↖ ↑ ↗
← N 58.887620°
W  7.558594°		 ← 315.64 m → N 58.887620°
W  7.553100°		 →
↑
315.62 m
↓
↑
315.62 m
↓
N 58.884781°
W  7.558594°		 ← 315.66 m →
99 626 m²		 N 58.884781°
W  7.553100°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31392 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19430 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479011535644531 y=0.296485900878906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479011535644531 × 216)
    floor (0.479011535644531 × 65536)
    floor (31392.5)     		tx = 31392
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.296485900878906 × 216)
    floor (0.296485900878906 × 65536)
    floor (19430.5)     		ty = 19430
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31392 / 19430 ti = "16/31392/19430"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31392/19430.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31392 ÷ 216
    31392 ÷ 65536     		x = 0.47900390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19430 ÷ 216
    19430 ÷ 65536     		y = 0.296478271484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47900390625 × 2 - 1) × π
    -0.0419921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.13192235
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.296478271484375 × 2 - 1) × π
    0.40704345703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.27876473426462
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13192235} λ = -0.13192235}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.27876473426462))-π/2
    2×atan(3.59219966264715)-π/2
    2×1.29928958684918-π/2
    2.59857917369835-1.57079632675     		φ = 1.02778285
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13192235} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.558594°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02778285 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.887620°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31392 KachelY 19430 -0.13192235 1.02778285 -7.558594 58.887620
    Oben rechts KachelX + 1 31393 KachelY 19430 -0.13182647 1.02778285 -7.553100 58.887620
    Unten links KachelX 31392 KachelY + 1 19431 -0.13192235 1.02773331 -7.558594 58.884781
    Unten rechts KachelX + 1 31393 KachelY + 1 19431 -0.13182647 1.02773331 -7.553100 58.884781
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02778285-1.02773331) × R
    4.95400000000146e-05 × 6371000     		dl = 315.619340000093m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02778285-1.02773331) × R
    4.95400000000146e-05 × 6371000     		dr = 315.619340000093m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13192235--0.13182647) × cos(1.02778285) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.516718338505645 × 6371000     		do = 315.63816181929m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13192235--0.13182647) × cos(1.02773331) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.516760751812671 × 6371000     		du = 315.664070050659m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02778285)-sin(1.02773331))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.516718338505645-0.516760751812671)×R²
    abs(-0.13182647--0.13192235)×4.24133070258126e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.24133070258126e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.24133070258126e-05×40589641000000     		ar = 99625.5969017711m²