Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 3139 / 3123
↖ ↑ ↗
← S 68.236823°
E 95.888672°		 ← 3 623.54 m → S 68.236823°
E 95.976562°		 →
↑
3 620.96 m
↓
↑
3 620.96 m
↓
S 68.269387°
E 95.888672°		 ← 3 618.38 m →
13 111 347 m²		 S 68.269387°
E 95.976562°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3139 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3123 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.7664794921875 y=0.7625732421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.7664794921875 × 212)
    floor (0.7664794921875 × 4096)
    floor (3139.5)     		tx = 3139
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7625732421875 × 212)
    floor (0.7625732421875 × 4096)
    floor (3123.5)     		ty = 3123
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3139 / 3123 ti = "12/3139/3123"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3139/3123.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3139 ÷ 212
    3139 ÷ 4096     		x = 0.766357421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3123 ÷ 212
    3123 ÷ 4096     		y = 0.762451171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.766357421875 × 2 - 1) × π
    0.53271484375 × 3.1415926535     		Λ = 1.67357304
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.762451171875 × 2 - 1) × π
    -0.52490234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.64902934692993
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67357304} λ = 1.67357304}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64902934692993))-π/2
    2×atan(0.192236412955022)-π/2
    2×0.189919549717177-π/2
    0.379839099434353-1.57079632675     		φ = -1.19095723
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67357304} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.888672°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19095723 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.236823°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3139 KachelY 3123 1.67357304 -1.19095723 95.888672 -68.236823
    Oben rechts KachelX + 1 3140 KachelY 3123 1.67510702 -1.19095723 95.976562 -68.236823
    Unten links KachelX 3139 KachelY + 1 3124 1.67357304 -1.19152558 95.888672 -68.269387
    Unten rechts KachelX + 1 3140 KachelY + 1 3124 1.67510702 -1.19152558 95.976562 -68.269387
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19095723--1.19152558) × R
    0.000568349999999995 × 6371000     		dl = 3620.95784999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19095723--1.19152558) × R
    0.000568349999999995 × 6371000     		dr = 3620.95784999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67357304-1.67510702) × cos(-1.19095723) × R
    0.00153398000000005 × 0.370771039495761 × 6371000     		do = 3623.54039324483m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67357304-1.67510702) × cos(-1.19152558) × R
    0.00153398000000005 × 0.370243139181402 × 6371000     		du = 3618.38123055702m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19095723)-sin(-1.19152558))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.370771039495761-0.370243139181402)×R²
    abs(1.67510702-1.67357304)×0.000527900314359175×R²
    0.00153398000000005×0.000527900314359175×6371000²
    0.00153398000000005×0.000527900314359175×40589641000000     		ar = 13111346.8293365m²