Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31387 / 39593
↖ ↑ ↗
← S 35.070469°
W  7.586060°		 ← 499.95 m → S 35.070469°
W  7.580566°		 →
↑
499.87 m
↓
↑
499.87 m
↓
S 35.074965°
W  7.586060°		 ← 499.92 m →
249 902 m²		 S 35.074965°
W  7.580566°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31387 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39593 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478935241699219 y=0.604148864746094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478935241699219 × 216)
    floor (0.478935241699219 × 65536)
    floor (31387.5)     		tx = 31387
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.604148864746094 × 216)
    floor (0.604148864746094 × 65536)
    floor (39593.5)     		ty = 39593
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31387 / 39593 ti = "16/31387/39593"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31387/39593.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31387 ÷ 216
    31387 ÷ 65536     		x = 0.478927612304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39593 ÷ 216
    39593 ÷ 65536     		y = 0.604141235351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.478927612304688 × 2 - 1) × π
    -0.042144775390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.13240172
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.604141235351562 × 2 - 1) × π
    -0.208282470703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.654338679813766
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13240172} λ = -0.13240172}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.654338679813766))-π/2
    2×atan(0.519785693721195)-π/2
    2×0.479350585225176-π/2
    0.958701170450353-1.57079632675     		φ = -0.61209516
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13240172} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.586060°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.61209516 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -35.070469°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31387 KachelY 39593 -0.13240172 -0.61209516 -7.586060 -35.070469
    Oben rechts KachelX + 1 31388 KachelY 39593 -0.13230584 -0.61209516 -7.580566 -35.070469
    Unten links KachelX 31387 KachelY + 1 39594 -0.13240172 -0.61217362 -7.586060 -35.074965
    Unten rechts KachelX + 1 31388 KachelY + 1 39594 -0.13230584 -0.61217362 -7.580566 -35.074965
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.61209516--0.61217362) × R
    7.84600000000024e-05 × 6371000     		dl = 499.868660000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.61209516--0.61217362) × R
    7.84600000000024e-05 × 6371000     		dr = 499.868660000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13240172--0.13230584) × cos(-0.61209516) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.818445970733977 × 6371000     		do = 499.948932522848m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13240172--0.13230584) × cos(-0.61217362) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.818400886393823 × 6371000     		du = 499.92139268694m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.61209516)-sin(-0.61217362))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.818445970733977-0.818400886393823)×R²
    abs(-0.13230584--0.13240172)×4.50843401544887e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.50843401544887e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.50843401544887e-05×40589641000000     		ar = 249901.919946386m²