Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31387 / 39437
↖ ↑ ↗
← S 34.366111°
W  7.586060°		 ← 504.23 m → S 34.366111°
W  7.580566°		 →
↑
504.20 m
↓
↑
504.20 m
↓
S 34.370645°
W  7.586060°		 ← 504.20 m →
254 224 m²		 S 34.370645°
W  7.580566°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31387 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39437 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478935241699219 y=0.601768493652344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478935241699219 × 216)
    floor (0.478935241699219 × 65536)
    floor (31387.5)     		tx = 31387
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.601768493652344 × 216)
    floor (0.601768493652344 × 65536)
    floor (39437.5)     		ty = 39437
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31387 / 39437 ti = "16/31387/39437"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31387/39437.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31387 ÷ 216
    31387 ÷ 65536     		x = 0.478927612304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39437 ÷ 216
    39437 ÷ 65536     		y = 0.601760864257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.478927612304688 × 2 - 1) × π
    -0.042144775390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.13240172
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.601760864257812 × 2 - 1) × π
    -0.203521728515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.639382367132309
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13240172} λ = -0.13240172}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.639382367132309))-π/2
    2×atan(0.527618197768946)-π/2
    2×0.485497271743465-π/2
    0.970994543486929-1.57079632675     		φ = -0.59980178
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13240172} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.586060°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.59980178 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.366111°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31387 KachelY 39437 -0.13240172 -0.59980178 -7.586060 -34.366111
    Oben rechts KachelX + 1 31388 KachelY 39437 -0.13230584 -0.59980178 -7.580566 -34.366111
    Unten links KachelX 31387 KachelY + 1 39438 -0.13240172 -0.59988092 -7.586060 -34.370645
    Unten rechts KachelX + 1 31388 KachelY + 1 39438 -0.13230584 -0.59988092 -7.580566 -34.370645
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.59980178--0.59988092) × R
    7.91400000000886e-05 × 6371000     		dl = 504.200940000564m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.59980178--0.59988092) × R
    7.91400000000886e-05 × 6371000     		dr = 504.200940000564m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13240172--0.13230584) × cos(-0.59980178) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.825447522125822 × 6371000     		do = 504.225840552852m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13240172--0.13230584) × cos(-0.59988092) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.825402846683603 × 6371000     		du = 504.198550492853m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.59980178)-sin(-0.59988092))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.825447522125822-0.825402846683603)×R²
    abs(-0.13230584--0.13240172)×4.46754422188667e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.46754422188667e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.46754422188667e-05×40589641000000     		ar = 254224.263075092m²