Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31385 / 38458
↖ ↑ ↗
← S 29.812051°
W  7.597046°		 ← 529.96 m → S 29.812051°
W  7.591553°		 →
↑
530 m
↓
↑
530 m
↓
S 29.816817°
W  7.597046°		 ← 529.93 m →
280 872 m²		 S 29.816817°
W  7.591553°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31385 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38458 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478904724121094 y=0.586830139160156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478904724121094 × 216)
    floor (0.478904724121094 × 65536)
    floor (31385.5)     		tx = 31385
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.586830139160156 × 216)
    floor (0.586830139160156 × 65536)
    floor (38458.5)     		ty = 38458
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31385 / 38458 ti = "16/31385/38458"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31385/38458.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31385 ÷ 216
    31385 ÷ 65536     		x = 0.478897094726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38458 ÷ 216
    38458 ÷ 65536     		y = 0.586822509765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.478897094726562 × 2 - 1) × π
    -0.042205810546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.13259346
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.586822509765625 × 2 - 1) × π
    -0.17364501953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.545521917676239
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13259346} λ = -0.13259346}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.545521917676239))-π/2
    2×atan(0.579539232623851)-π/2
    2×0.525238942071705-π/2
    1.05047788414341-1.57079632675     		φ = -0.52031844
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13259346} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.597046°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52031844 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.812051°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31385 KachelY 38458 -0.13259346 -0.52031844 -7.597046 -29.812051
    Oben rechts KachelX + 1 31386 KachelY 38458 -0.13249759 -0.52031844 -7.591553 -29.812051
    Unten links KachelX 31385 KachelY + 1 38459 -0.13259346 -0.52040163 -7.597046 -29.816817
    Unten rechts KachelX + 1 31386 KachelY + 1 38459 -0.13249759 -0.52040163 -7.591553 -29.816817
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52031844--0.52040163) × R
    8.31899999998997e-05 × 6371000     		dl = 530.003489999361m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52031844--0.52040163) × R
    8.31899999998997e-05 × 6371000     		dr = 530.003489999361m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13259346--0.13249759) × cos(-0.52031844) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.867660909169047 × 6371000     		do = 529.956671827523m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13259346--0.13249759) × cos(-0.52040163) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.867619547720748 × 6371000     		du = 529.931408760753m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52031844)-sin(-0.52040163))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.867660909169047-0.867619547720748)×R²
    abs(-0.13249759--0.13259346)×4.13614482983604e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.13614482983604e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.13614482983604e-05×40589641000000     		ar = 280872.191022263m²