Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31384 / 15832
↖ ↑ ↗
← N 67.692771°
W  7.602539°		 ← 231.86 m → N 67.692771°
W  7.597046°		 →
↑
231.84 m
↓
↑
231.84 m
↓
N 67.690686°
W  7.602539°		 ← 231.88 m →
53 758 m²		 N 67.690686°
W  7.597046°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31384 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15832 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478889465332031 y=0.241584777832031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478889465332031 × 216)
    floor (0.478889465332031 × 65536)
    floor (31384.5)     		tx = 31384
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.241584777832031 × 216)
    floor (0.241584777832031 × 65536)
    floor (15832.5)     		ty = 15832
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31384 / 15832 ti = "16/31384/15832"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31384/15832.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31384 ÷ 216
    31384 ÷ 65536     		x = 0.4788818359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15832 ÷ 216
    15832 ÷ 65536     		y = 0.2415771484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4788818359375 × 2 - 1) × π
    -0.042236328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.13268934
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2415771484375 × 2 - 1) × π
    0.516845703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.62371866393054
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13268934} λ = -0.13268934}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.62371866393054))-π/2
    2×atan(5.07191604284225)-π/2
    2×1.37612902983175-π/2
    2.75225805966351-1.57079632675     		φ = 1.18146173
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13268934} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.602539°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18146173 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.692771°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31384 KachelY 15832 -0.13268934 1.18146173 -7.602539 67.692771
    Oben rechts KachelX + 1 31385 KachelY 15832 -0.13259346 1.18146173 -7.597046 67.692771
    Unten links KachelX 31384 KachelY + 1 15833 -0.13268934 1.18142534 -7.602539 67.690686
    Unten rechts KachelX + 1 31385 KachelY + 1 15833 -0.13259346 1.18142534 -7.597046 67.690686
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18146173-1.18142534) × R
    3.63899999999973e-05 × 6371000     		dl = 231.840689999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18146173-1.18142534) × R
    3.63899999999973e-05 × 6371000     		dr = 231.840689999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13268934--0.13259346) × cos(1.18146173) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.379572893549339 × 6371000     		do = 231.862663792479m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13268934--0.13259346) × cos(1.18142534) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.379606559937138 × 6371000     		du = 231.883228955292m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18146173)-sin(1.18142534))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.379572893549339-0.379606559937138)×R²
    abs(-0.13259346--0.13268934)×3.36663877985588e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.36663877985588e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.36663877985588e-05×40589641000000     		ar = 53757.5838855572m²