Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31382 / 38356
↖ ↑ ↗
← S 29.324720°
W  7.613526°		 ← 532.58 m → S 29.324720°
W  7.608032°		 →
↑
532.55 m
↓
↑
532.55 m
↓
S 29.329510°
W  7.613526°		 ← 532.55 m →
283 618 m²		 S 29.329510°
W  7.608032°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31382 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38356 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478858947753906 y=0.585273742675781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478858947753906 × 216)
    floor (0.478858947753906 × 65536)
    floor (31382.5)     		tx = 31382
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.585273742675781 × 216)
    floor (0.585273742675781 × 65536)
    floor (38356.5)     		ty = 38356
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31382 / 38356 ti = "16/31382/38356"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31382/38356.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31382 ÷ 216
    31382 ÷ 65536     		x = 0.478851318359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38356 ÷ 216
    38356 ÷ 65536     		y = 0.58526611328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.478851318359375 × 2 - 1) × π
    -0.04229736328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.13288109
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58526611328125 × 2 - 1) × π
    -0.1705322265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.535742790153748
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13288109} λ = -0.13288109}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.535742790153748))-π/2
    2×atan(0.585234422290496)-π/2
    2×0.529491703881958-π/2
    1.05898340776392-1.57079632675     		φ = -0.51181292
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13288109} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.613526°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51181292 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.324720°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31382 KachelY 38356 -0.13288109 -0.51181292 -7.613526 -29.324720
    Oben rechts KachelX + 1 31383 KachelY 38356 -0.13278521 -0.51181292 -7.608032 -29.324720
    Unten links KachelX 31382 KachelY + 1 38357 -0.13288109 -0.51189651 -7.613526 -29.329510
    Unten rechts KachelX + 1 31383 KachelY + 1 38357 -0.13278521 -0.51189651 -7.608032 -29.329510
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51181292--0.51189651) × R
    8.35900000000223e-05 × 6371000     		dl = 532.551890000142m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51181292--0.51189651) × R
    8.35900000000223e-05 × 6371000     		dr = 532.551890000142m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13288109--0.13278521) × cos(-0.51181292) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.871858047621034 × 6371000     		do = 532.575778739332m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13288109--0.13278521) × cos(-0.51189651) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.871817105648751 × 6371000     		du = 532.55076927497m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51181292)-sin(-0.51189651))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.871858047621034-0.871817105648751)×R²
    abs(-0.13278521--0.13288109)×4.09419722824378e-05×R²
    9.58800000000204e-05×4.09419722824378e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×4.09419722824378e-05×40589641000000     		ar = 283617.578282211m²