Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31381 / 17014
↖ ↑ ↗
← N 65.095272°
W  7.619019°		 ← 257.21 m → N 65.095272°
W  7.613526°		 →
↑
257.20 m
↓
↑
257.20 m
↓
N 65.092959°
W  7.619019°		 ← 257.23 m →
66 156 m²		 N 65.092959°
W  7.613526°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31381 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17014 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478843688964844 y=0.259620666503906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478843688964844 × 216)
    floor (0.478843688964844 × 65536)
    floor (31381.5)     		tx = 31381
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.259620666503906 × 216)
    floor (0.259620666503906 × 65536)
    floor (17014.5)     		ty = 17014
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31381 / 17014 ti = "16/31381/17014"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31381/17014.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31381 ÷ 216
    31381 ÷ 65536     		x = 0.478836059570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17014 ÷ 216
    17014 ÷ 65536     		y = 0.259613037109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.478836059570312 × 2 - 1) × π
    -0.042327880859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.13297696
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.259613037109375 × 2 - 1) × π
    0.48077392578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.51039583322873
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13297696} λ = -0.13297696}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51039583322873))-π/2
    2×atan(4.52852297945997)-π/2
    2×1.35346157920984-π/2
    2.70692315841968-1.57079632675     		φ = 1.13612683
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13297696} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.619019°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13612683 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.095272°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31381 KachelY 17014 -0.13297696 1.13612683 -7.619019 65.095272
    Oben rechts KachelX + 1 31382 KachelY 17014 -0.13288109 1.13612683 -7.613526 65.095272
    Unten links KachelX 31381 KachelY + 1 17015 -0.13297696 1.13608646 -7.619019 65.092959
    Unten rechts KachelX + 1 31382 KachelY + 1 17015 -0.13288109 1.13608646 -7.613526 65.092959
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13612683-1.13608646) × R
    4.03700000000118e-05 × 6371000     		dl = 257.197270000075m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13612683-1.13608646) × R
    4.03700000000118e-05 × 6371000     		dr = 257.197270000075m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13297696--0.13288109) × cos(1.13612683) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.421110654900685 × 6371000     		do = 257.209237830023m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13297696--0.13288109) × cos(1.13608646) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.421147270521765 × 6371000     		du = 257.23160220357m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13612683)-sin(1.13608646))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.421110654900685-0.421147270521765)×R²
    abs(-0.13288109--0.13297696)×3.66156210804824e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.66156210804824e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.66156210804824e-05×40589641000000     		ar = 66156.3898258377m²