Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31380 / 19412
↖ ↑ ↗
← N 58.938673°
W  7.624512°		 ← 315.14 m → N 58.938673°
W  7.619019°		 →
↑
315.11 m
↓
↑
315.11 m
↓
N 58.935839°
W  7.624512°		 ← 315.17 m →
99 307 m²		 N 58.935839°
W  7.619019°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31380 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19412 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478828430175781 y=0.296211242675781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478828430175781 × 216)
    floor (0.478828430175781 × 65536)
    floor (31380.5)     		tx = 31380
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.296211242675781 × 216)
    floor (0.296211242675781 × 65536)
    floor (19412.5)     		ty = 19412
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31380 / 19412 ti = "16/31380/19412"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31380/19412.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31380 ÷ 216
    31380 ÷ 65536     		x = 0.47882080078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19412 ÷ 216
    19412 ÷ 65536     		y = 0.29620361328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47882080078125 × 2 - 1) × π
    -0.0423583984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.13307283
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.29620361328125 × 2 - 1) × π
    0.4075927734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.28049046265094
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13307283} λ = -0.13307283}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28049046265094))-π/2
    2×atan(3.59840417568663)-π/2
    2×1.29973511533131-π/2
    2.59947023066261-1.57079632675     		φ = 1.02867390
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13307283} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.624512°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02867390 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.938673°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31380 KachelY 19412 -0.13307283 1.02867390 -7.624512 58.938673
    Oben rechts KachelX + 1 31381 KachelY 19412 -0.13297696 1.02867390 -7.619019 58.938673
    Unten links KachelX 31380 KachelY + 1 19413 -0.13307283 1.02862444 -7.624512 58.935839
    Unten rechts KachelX + 1 31381 KachelY + 1 19413 -0.13297696 1.02862444 -7.619019 58.935839
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02867390-1.02862444) × R
    4.94600000000567e-05 × 6371000     		dl = 315.109660000361m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02867390-1.02862444) × R
    4.94600000000567e-05 × 6371000     		dr = 315.109660000361m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13307283--0.13297696) × cos(1.02867390) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.515955256161304 × 6371000     		do = 315.139160330535m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13307283--0.13297696) × cos(1.02862444) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.515997623734525 × 6371000     		du = 315.165037926103m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02867390)-sin(1.02862444))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.515955256161304-0.515997623734525)×R²
    abs(-0.13297696--0.13307283)×4.23675732217355e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.23675732217355e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.23675732217355e-05×40589641000000     		ar = 99307.4708252432m²