Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3138 / 3044
↖ ↑ ↗
← S 65.512963°
E 95.800781°		 ← 4 050.78 m → S 65.512963°
E 95.888672°		 →
↑
4 047.94 m
↓
↑
4 047.94 m
↓
S 65.549367°
E 95.800781°		 ← 4 045.13 m →
16 385 883 m²		 S 65.549367°
E 95.888672°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3138 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3044 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.7662353515625 y=0.7432861328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.7662353515625 × 212)
    floor (0.7662353515625 × 4096)
    floor (3138.5)     		tx = 3138
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7432861328125 × 212)
    floor (0.7432861328125 × 4096)
    floor (3044.5)     		ty = 3044
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3138 / 3044 ti = "12/3138/3044"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3138/3044.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3138 ÷ 212
    3138 ÷ 4096     		x = 0.76611328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3044 ÷ 212
    3044 ÷ 4096     		y = 0.7431640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76611328125 × 2 - 1) × π
    0.5322265625 × 3.1415926535     		Λ = 1.67203906
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7431640625 × 2 - 1) × π
    -0.486328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.52784486469043
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67203906} λ = 1.67203906}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52784486469043))-π/2
    2×atan(0.217002834201529)-π/2
    2×0.213689713761125-π/2
    0.42737942752225-1.57079632675     		φ = -1.14341690
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67203906} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.800781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14341690 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.512963°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3138 KachelY 3044 1.67203906 -1.14341690 95.800781 -65.512963
    Oben rechts KachelX + 1 3139 KachelY 3044 1.67357304 -1.14341690 95.888672 -65.512963
    Unten links KachelX 3138 KachelY + 1 3045 1.67203906 -1.14405227 95.800781 -65.549367
    Unten rechts KachelX + 1 3139 KachelY + 1 3045 1.67357304 -1.14405227 95.888672 -65.549367
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14341690--1.14405227) × R
    0.000635369999999913 × 6371000     		dl = 4047.94226999945m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14341690--1.14405227) × R
    0.000635369999999913 × 6371000     		dr = 4047.94226999945m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67203906-1.67357304) × cos(-1.14341690) × R
    0.00153398000000005 × 0.414487362458354 × 6371000     		do = 4050.77943088521m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67203906-1.67357304) × cos(-1.14405227) × R
    0.00153398000000005 × 0.413909057145611 × 6371000     		du = 4045.12766082463m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14341690)-sin(-1.14405227))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.414487362458354-0.413909057145611)×R²
    abs(1.67357304-1.67203906)×0.000578305312743443×R²
    0.00153398000000005×0.000578305312743443×6371000²
    0.00153398000000005×0.000578305312743443×40589641000000     		ar = 16385882.8165052m²