Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31379 / 19411
↖ ↑ ↗
← N 58.941507°
W  7.630005°		 ← 315.15 m → N 58.941507°
W  7.624512°		 →
↑
315.17 m
↓
↑
315.17 m
↓
N 58.938673°
W  7.630005°		 ← 315.17 m →
99 330 m²		 N 58.938673°
W  7.624512°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31379 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19411 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478813171386719 y=0.296195983886719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478813171386719 × 216)
    floor (0.478813171386719 × 65536)
    floor (31379.5)     		tx = 31379
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.296195983886719 × 216)
    floor (0.296195983886719 × 65536)
    floor (19411.5)     		ty = 19411
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31379 / 19411 ti = "16/31379/19411"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31379/19411.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31379 ÷ 216
    31379 ÷ 65536     		x = 0.478805541992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19411 ÷ 216
    19411 ÷ 65536     		y = 0.296188354492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.478805541992188 × 2 - 1) × π
    -0.042388916015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.13316871
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.296188354492188 × 2 - 1) × π
    0.407623291015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.28058633645018
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13316871} λ = -0.13316871}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28058633645018))-π/2
    2×atan(3.59874918490456)-π/2
    2×1.29975984761085-π/2
    2.59951969522171-1.57079632675     		φ = 1.02872337
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13316871} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.630005°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02872337 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.941507°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31379 KachelY 19411 -0.13316871 1.02872337 -7.630005 58.941507
    Oben rechts KachelX + 1 31380 KachelY 19411 -0.13307283 1.02872337 -7.624512 58.941507
    Unten links KachelX 31379 KachelY + 1 19412 -0.13316871 1.02867390 -7.630005 58.938673
    Unten rechts KachelX + 1 31380 KachelY + 1 19412 -0.13307283 1.02867390 -7.624512 58.938673
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02872337-1.02867390) × R
    4.94699999999959e-05 × 6371000     		dl = 315.173369999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02872337-1.02867390) × R
    4.94699999999959e-05 × 6371000     		dr = 315.173369999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13316871--0.13307283) × cos(1.02872337) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.515912878759494 × 6371000     		do = 315.146145541274m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13316871--0.13307283) × cos(1.02867390) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.515955256161304 × 6371000     		du = 315.172031839887m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02872337)-sin(1.02867390))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.515912878759494-0.515955256161304)×R²
    abs(-0.13307283--0.13316871)×4.23774018092349e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.23774018092349e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.23774018092349e-05×40589641000000     		ar = 99329.7520886836m²