Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 31377 / 19507
↖ ↑ ↗
← N 58.668370°
W  7.640991°		 ← 317.60 m → N 58.668370°
W  7.635498°		 →
↑
317.66 m
↓
↑
317.66 m
↓
N 58.665513°
W  7.640991°		 ← 317.63 m →
100 894 m²		 N 58.665513°
W  7.635498°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31377 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19507 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478782653808594 y=0.297660827636719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478782653808594 × 216)
    floor (0.478782653808594 × 65536)
    floor (31377.5)     		tx = 31377
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.297660827636719 × 216)
    floor (0.297660827636719 × 65536)
    floor (19507.5)     		ty = 19507
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31377 / 19507 ti = "16/31377/19507"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31377/19507.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31377 ÷ 216
    31377 ÷ 65536     		x = 0.478775024414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19507 ÷ 216
    19507 ÷ 65536     		y = 0.297653198242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.478775024414062 × 2 - 1) × π
    -0.042449951171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.13336045
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.297653198242188 × 2 - 1) × π
    0.404693603515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.27138245172313
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13336045} λ = -0.13336045}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.27138245172313))-π/2
    2×atan(3.56577867338695)-π/2
    2×1.29737627102859-π/2
    2.59475254205718-1.57079632675     		φ = 1.02395622
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13336045} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.640991°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02395622 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.668370°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31377 KachelY 19507 -0.13336045 1.02395622 -7.640991 58.668370
    Oben rechts KachelX + 1 31378 KachelY 19507 -0.13326458 1.02395622 -7.635498 58.668370
    Unten links KachelX 31377 KachelY + 1 19508 -0.13336045 1.02390636 -7.640991 58.665513
    Unten rechts KachelX + 1 31378 KachelY + 1 19508 -0.13326458 1.02390636 -7.635498 58.665513
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02395622-1.02390636) × R
    4.98600000000682e-05 × 6371000     		dl = 317.658060000434m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02395622-1.02390636) × R
    4.98600000000682e-05 × 6371000     		dr = 317.658060000434m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13336045--0.13326458) × cos(1.02395622) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.519990737475023 × 6371000     		do = 317.603982963018m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13336045--0.13326458) × cos(1.02390636) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.520033325839533 × 6371000     		du = 317.629995415205m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02395622)-sin(1.02390636))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.519990737475023-0.520033325839533)×R²
    abs(-0.13326458--0.13336045)×4.25883645099878e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.25883645099878e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.25883645099878e-05×40589641000000     		ar = 100893.596629924m²