Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31376 / 13615
↖ ↑ ↗
← N 71.885286°
W  7.646484°		 ← 189.93 m → N 71.885286°
W  7.640991°		 →
↑
189.92 m
↓
↑
189.92 m
↓
N 71.883578°
W  7.646484°		 ← 189.94 m →
36 072 m²		 N 71.883578°
W  7.640991°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31376 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13615 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478767395019531 y=0.207756042480469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478767395019531 × 216)
    floor (0.478767395019531 × 65536)
    floor (31376.5)     		tx = 31376
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.207756042480469 × 216)
    floor (0.207756042480469 × 65536)
    floor (13615.5)     		ty = 13615
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31376 / 13615 ti = "16/31376/13615"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31376/13615.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31376 ÷ 216
    31376 ÷ 65536     		x = 0.478759765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13615 ÷ 216
    13615 ÷ 65536     		y = 0.207748413085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.478759765625 × 2 - 1) × π
    -0.04248046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.13345633
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.207748413085938 × 2 - 1) × π
    0.584503173828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.83627087684587
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13345633} λ = -0.13345633}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.83627087684587))-π/2
    2×atan(6.2731014209981)-π/2
    2×1.41271562837037-π/2
    2.82543125674074-1.57079632675     		φ = 1.25463493
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13345633} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.646484°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25463493 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.885286°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31376 KachelY 13615 -0.13345633 1.25463493 -7.646484 71.885286
    Oben rechts KachelX + 1 31377 KachelY 13615 -0.13336045 1.25463493 -7.640991 71.885286
    Unten links KachelX 31376 KachelY + 1 13616 -0.13345633 1.25460512 -7.646484 71.883578
    Unten rechts KachelX + 1 31377 KachelY + 1 13616 -0.13336045 1.25460512 -7.640991 71.883578
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25463493-1.25460512) × R
    2.9810000000019e-05 × 6371000     		dl = 189.919510000121m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25463493-1.25460512) × R
    2.9810000000019e-05 × 6371000     		dr = 189.919510000121m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13345633--0.13336045) × cos(1.25463493) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.310920513899639 × 6371000     		do = 189.926256077995m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13345633--0.13336045) × cos(1.25460512) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.3109488462562 × 6371000     		du = 189.943562939932m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25463493)-sin(1.25460512))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.310920513899639-0.3109488462562)×R²
    abs(-0.13336045--0.13345633)×2.83323565608562e-05×R²
    9.58800000000204e-05×2.83323565608562e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×2.83323565608562e-05×40589641000000     		ar = 36072.34494861m²