Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31375 / 15531
↖ ↑ ↗
← N 68.312057°
W  7.651977°		 ← 225.72 m → N 68.312057°
W  7.646484°		 →
↑
225.72 m
↓
↑
225.72 m
↓
N 68.310027°
W  7.651977°		 ← 225.74 m →
50 952 m²		 N 68.310027°
W  7.646484°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31375 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15531 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478752136230469 y=0.236991882324219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478752136230469 × 216)
    floor (0.478752136230469 × 65536)
    floor (31375.5)     		tx = 31375
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.236991882324219 × 216)
    floor (0.236991882324219 × 65536)
    floor (15531.5)     		ty = 15531
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31375 / 15531 ti = "16/31375/15531"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31375/15531.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31375 ÷ 216
    31375 ÷ 65536     		x = 0.478744506835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15531 ÷ 216
    15531 ÷ 65536     		y = 0.236984252929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.478744506835938 × 2 - 1) × π
    -0.042510986328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.13355220
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.236984252929688 × 2 - 1) × π
    0.526031494140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.65257667750182
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13355220} λ = -0.13355220}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.65257667750182))-π/2
    2×atan(5.22041383507324)-π/2
    2×1.38153331853557-π/2
    2.76306663707113-1.57079632675     		φ = 1.19227031
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13355220} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.651977°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19227031 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.312057°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31375 KachelY 15531 -0.13355220 1.19227031 -7.651977 68.312057
    Oben rechts KachelX + 1 31376 KachelY 15531 -0.13345633 1.19227031 -7.646484 68.312057
    Unten links KachelX 31375 KachelY + 1 15532 -0.13355220 1.19223488 -7.651977 68.310027
    Unten rechts KachelX + 1 31376 KachelY + 1 15532 -0.13345633 1.19223488 -7.646484 68.310027
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19227031-1.19223488) × R
    3.54300000000585e-05 × 6371000     		dl = 225.724530000373m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19227031-1.19223488) × R
    3.54300000000585e-05 × 6371000     		dr = 225.724530000373m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13355220--0.13345633) × cos(1.19227031) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.369551230896885 × 6371000     		do = 225.717372220259m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13355220--0.13345633) × cos(1.19223488) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.369584152587885 × 6371000     		du = 225.737480386489m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19227031)-sin(1.19223488))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.369551230896885-0.369584152587885)×R²
    abs(-0.13345633--0.13355220)×3.29216909992214e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.29216909992214e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.29216909992214e-05×40589641000000     		ar = 50952.2172158273m²