Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31372 / 15516
↖ ↑ ↗
← N 68.342487°
W  7.668457°		 ← 225.42 m → N 68.342487°
W  7.662964°		 →
↑
225.41 m
↓
↑
225.41 m
↓
N 68.340459°
W  7.668457°		 ← 225.44 m →
50 812 m²		 N 68.340459°
W  7.662964°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31372 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15516 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478706359863281 y=0.236763000488281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478706359863281 × 216)
    floor (0.478706359863281 × 65536)
    floor (31372.5)     		tx = 31372
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.236763000488281 × 216)
    floor (0.236763000488281 × 65536)
    floor (15516.5)     		ty = 15516
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31372 / 15516 ti = "16/31372/15516"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31372/15516.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31372 ÷ 216
    31372 ÷ 65536     		x = 0.47869873046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15516 ÷ 216
    15516 ÷ 65536     		y = 0.23675537109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47869873046875 × 2 - 1) × π
    -0.0426025390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.13383982
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.23675537109375 × 2 - 1) × π
    0.5264892578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.65401478449042
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13383982} λ = -0.13383982}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.65401478449042))-π/2
    2×atan(5.22792674958546)-π/2
    2×1.38179886815977-π/2
    2.76359773631954-1.57079632675     		φ = 1.19280141
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13383982} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.668457°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19280141 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.342487°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31372 KachelY 15516 -0.13383982 1.19280141 -7.668457 68.342487
    Oben rechts KachelX + 1 31373 KachelY 15516 -0.13374395 1.19280141 -7.662964 68.342487
    Unten links KachelX 31372 KachelY + 1 15517 -0.13383982 1.19276603 -7.668457 68.340459
    Unten rechts KachelX + 1 31373 KachelY + 1 15517 -0.13374395 1.19276603 -7.662964 68.340459
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19280141-1.19276603) × R
    3.53799999999183e-05 × 6371000     		dl = 225.405979999479m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19280141-1.19276603) × R
    3.53799999999183e-05 × 6371000     		dr = 225.405979999479m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13383982--0.13374395) × cos(1.19280141) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.369057675180288 × 6371000     		do = 225.415914424748m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13383982--0.13374395) × cos(1.19276603) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.369090557351081 × 6371000     		du = 225.435998452519m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19280141)-sin(1.19276603))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.369057675180288-0.369090557351081)×R²
    abs(-0.13374395--0.13383982)×3.28821707926141e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.28821707926141e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.28821707926141e-05×40589641000000     		ar = 50812.3586337038m²