Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 31371 / 13547
↖ ↑ ↗
← N 72.001067°
W  7.673950°		 ← 188.75 m → N 72.001067°
W  7.668457°		 →
↑
188.71 m
↓
↑
188.71 m
↓
N 71.999370°
W  7.673950°		 ← 188.77 m →
35 621 m²		 N 71.999370°
W  7.668457°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31371 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13547 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478691101074219 y=0.206718444824219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478691101074219 × 216)
    floor (0.478691101074219 × 65536)
    floor (31371.5)     		tx = 31371
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.206718444824219 × 216)
    floor (0.206718444824219 × 65536)
    floor (13547.5)     		ty = 13547
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31371 / 13547 ti = "16/31371/13547"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31371/13547.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31371 ÷ 216
    31371 ÷ 65536     		x = 0.478683471679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13547 ÷ 216
    13547 ÷ 65536     		y = 0.206710815429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.478683471679688 × 2 - 1) × π
    -0.042633056640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.13393570
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.206710815429688 × 2 - 1) × π
    0.586578369140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.8427902951942
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13393570} λ = -0.13393570}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.8427902951942))-π/2
    2×atan(6.31413199591842)-π/2
    2×1.41372600460683-π/2
    2.82745200921367-1.57079632675     		φ = 1.25665568
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13393570} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.673950°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25665568 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.001067°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31371 KachelY 13547 -0.13393570 1.25665568 -7.673950 72.001067
    Oben rechts KachelX + 1 31372 KachelY 13547 -0.13383982 1.25665568 -7.668457 72.001067
    Unten links KachelX 31371 KachelY + 1 13548 -0.13393570 1.25662606 -7.673950 71.999370
    Unten rechts KachelX + 1 31372 KachelY + 1 13548 -0.13383982 1.25662606 -7.668457 71.999370
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25665568-1.25662606) × R
    2.96199999998414e-05 × 6371000     		dl = 188.70901999899m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25665568-1.25662606) × R
    2.96199999998414e-05 × 6371000     		dr = 188.70901999899m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13393570--0.13383982) × cos(1.25665568) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.308999287014693 × 6371000     		do = 188.752671791856m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13393570--0.13383982) × cos(1.25662606) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.309027457343564 × 6371000     		du = 188.769879678939m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25665568)-sin(1.25662606))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.308999287014693-0.309027457343564)×R²
    abs(-0.13383982--0.13393570)×2.81703288713686e-05×R²
    9.58799999999926e-05×2.81703288713686e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×2.81703288713686e-05×40589641000000     		ar = 35620.9553601461m²