Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31370 / 15519
↖ ↑ ↗
← N 68.336404°
W  7.679443°		 ← 225.48 m → N 68.336404°
W  7.673950°		 →
↑
225.53 m
↓
↑
225.53 m
↓
N 68.334376°
W  7.679443°		 ← 225.50 m →
50 855 m²		 N 68.334376°
W  7.673950°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31370 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15519 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478675842285156 y=0.236808776855469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478675842285156 × 216)
    floor (0.478675842285156 × 65536)
    floor (31370.5)     		tx = 31370
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.236808776855469 × 216)
    floor (0.236808776855469 × 65536)
    floor (15519.5)     		ty = 15519
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31370 / 15519 ti = "16/31370/15519"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31370/15519.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31370 ÷ 216
    31370 ÷ 65536     		x = 0.478668212890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15519 ÷ 216
    15519 ÷ 65536     		y = 0.236801147460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.478668212890625 × 2 - 1) × π
    -0.04266357421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.13403157
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.236801147460938 × 2 - 1) × π
    0.526397705078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.6537271630927
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13403157} λ = -0.13403157}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.6537271630927))-π/2
    2×atan(5.22642330220875)-π/2
    2×1.38174578662313-π/2
    2.76349157324626-1.57079632675     		φ = 1.19269525
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13403157} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.679443°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19269525 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.336404°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31370 KachelY 15519 -0.13403157 1.19269525 -7.679443 68.336404
    Oben rechts KachelX + 1 31371 KachelY 15519 -0.13393570 1.19269525 -7.673950 68.336404
    Unten links KachelX 31370 KachelY + 1 15520 -0.13403157 1.19265985 -7.679443 68.334376
    Unten rechts KachelX + 1 31371 KachelY + 1 15520 -0.13393570 1.19265985 -7.673950 68.334376
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19269525-1.19265985) × R
    3.54000000000187e-05 × 6371000     		dl = 225.533400000119m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19269525-1.19265985) × R
    3.54000000000187e-05 × 6371000     		dr = 225.533400000119m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13403157--0.13393570) × cos(1.19269525) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.36915633889395 × 6371000     		do = 225.476177014395m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13403157--0.13393570) × cos(1.19265985) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.369189238265422 × 6371000     		du = 225.496271548131m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19269525)-sin(1.19265985))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.36915633889395-0.369189238265422)×R²
    abs(-0.13393570--0.13403157)×3.28993714717729e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.28993714717729e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.28993714717729e-05×40589641000000     		ar = 50854.6748208188m²